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MONOGRAFIAS FÍSICAS

ROTOR RÍGIDO

INTRODUCCIÓN

Cuándo se estudia la estructura y espectro de las moléculas es una sorpresa agradable encontrar que la rotación de la mayoría de las moléculas diatónicas puede ser descrita cuánticamente con un rotor rígido, sistema particularmente simple.
Podemos definir el rotor rígido como una barra rígida, sin masa, de longitud \( R_o \), que tiene dos masas puntuales en sus extremos. Vamos a ver a continuación diversas formas de tratar este problema.

Tratamiento clásico


Vamos a ver que transformando a coordenadas el centro de masas y coordenadas relativas, la energía total de un rotor rígido puede ser descrita por:

    \( \displaystyle E = \frac{1}{2}(2M)·v^2_{cm} + \frac{L^2}{2·I} \)
Siendo L el momento angular relativo de las dos masas, e l el momento de inercia dado por:
    \( I = \mu·R^2_o \)
Con \( \mu \) la masa reducida del sistema.
Para resolver el problema adoptamos la notación de la figura adjunta.
sistema de referencia

Consideramos dos sistemas de referencia, laboratorio y el sistema de centro de masas cuyo origen se sitúa en el punto medio de la barra rígida. De este modo, la energía cinética del rotor, supuesta nula la energía potencial, viene dada por:
    \( \displaystyle E_k = \frac{1}{2}v^2_{cm}\sum_{}^{i}m_i + E'_k = \frac{1}{2}(m_1+m_2)·R^2 + E'_k \)
Dónde se tiene:
    \( \displaystyle E'_k = \frac{1}{2}m_1r'_1^2 + \frac{1}{2}m_2r'_2^2 \)
Calculemos cada una de las velocidades y sustituyamos:
    \( \displaystyle \dot{\vec{r}}'_1 = \dot{\vec{r}}_1 - \dot{\vec{R}} = \frac{m_1\dot{\vec{r}}_1 + m_2\dot{\vec{r}}_1}{m_1+m_2} - \frac{m_1\dot{\vec{r}}_1 + m_2\dot{\vec{r}}_2}{m_1+m_2} = \frac{m_2}{m_1+m_2}(\dot{\vec{r}}_1 - \dot{\vec{r}}_2) \)
Para la igualdad anterior podemos poner:
    \( (\dot{\vec{r}}_1 - \dot{\vec{r}}_2) = v_r\)
Por lo que:
    \( \displaystyle \dot{\vec{r}}'_1 = \frac{m_2}{m_1+m_2}·v_r \)
Continuando con el otro termino:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \dot{\vec{r}}'_2 = \dot{\vec{r}}_2 - \dot{\vec{R}} = \frac{m_1\dot{\vec{r}}_2 + m_2\dot{\vec{r}}_2}{m_1+m_2} - \frac{m_1\dot{\vec{r}}_1 + m_2\dot{\vec{r}}_2}{m_1+m_2} = \\
     \\
    = \frac{m_1}{m_1+m_2}(\dot{\vec{r}}_2 - \dot{\vec{r}}_1) = - \frac{m_1}{m_1+m_2}v_r
    \end{array} \)
Sustituyendo los dos valores obtenidos tenemos:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    E'_k = \frac{1}{2}m_1·\frac{m_2^2}{(m_1+m_2)^2}v_r^2 + \frac{1}{2}m_2·\frac{m_1^2}{(m_1+m_2)^2}v_r^2 = \\
     \\
    = \frac{1}{2(m_1+m_2)^2}m_1·m_2(m_1+m_2)v_r = \frac{1}{2}·\mu·v_r^2
    \end{array} \)
Calculamos ahora el momento angular:
    \( \displaystyle \vec{L}' = \vec{r}'_1\wedge m_1\dot{\vec{r}}'_1 + \vec{r}'_2\wedge m_2\dot{\vec{r}}'_2= r \wedge v_r·\mu \)
La norma de este vector será:
    \( \|L'\| = \mu·R_o·v_r \)
Sustituyendo el valor de \( E'_k \) en la primera ecuación nos queda:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    E_k = \frac{1}{2}(m_1+m_2)\dot{\vec{R}} + \frac{1}{2}\mu v^2_r = \frac{1}{2}(m_1+m_2)\dot{\vec{R}}^2 + \frac{1}{2}\mu v^2_r·\frac{\mu·R^2_o}{\mu R^2_o}= \\
     \\
    = \frac{1}{2·I}·R^2_o·\mu^2·v_r^2 + \frac{1}{2}(m_1+m_2)\dot{\vec{R}}^2 = \frac{1}{2}(m_1+m_2)\dot{\vec{R}}^2 + \frac{1}{2·I}·L^2
    \end{array} \)
Sí tenemos:
    \( m_1 = m_2 = M\)
Nos queda finalmente:
    \( \displaystyle E_k = \frac{1}{2}(2M)·v^2_{cm} + \frac{1}{2·I}·L^2 \)

Primer capítulo:

ROTOR RÍGIDO
MONOGRAFIA EN 6 CAPÍTULOS
Capítulo dos : Tratamiento cuántico
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tema escrito por: José Antonio Hervás