Demostrar que para una mezcla homogénea de n núclidos en la cual no hay absorción, el flujo asintótico está dado por:

\( \displaystyle \phi = \frac{q_o}{\xi·\Sigma_s(u)} \)

Dónde \( q_o \) el número total de neutrones moderándose y:

\( \displaystyle \xi = \sum_i^n \xi_i·\frac{\sum_{si}(u)}{\sum_s(u)}\qquad ; \qquad \Sigma_s(u) = \sum_i^n\Sigma_{si}(u) \)

RESPUESTA

Vamos a suponer que se producen neutrones rápidos con velocidad bien definida en todo el volumen de un moderador determinado. Este moderador puede estar constituido por una mezcla de n núclidos distintos por lo que, en principio, estaremos con un subíndice "i" las distintas interacciones neutrónicas con el núclido i.
Buscar con los núcleos del moderador, los neutrones van perdiendo energía hasta convertirse en térmicos. Ahora bien, cómo se están generando neutrones rápidos de modo continuo, llegará un momento en que se alcance una distribución de energía neutrónicas en régimen de estado estacionario.
Suponemos que el moderador es de extensión infinita para que no haya perdidas de neutrones por escape y, asimismo, que no se produce absorción durante la moderación, puede deducirse con relativa facilidad una expresión de la distribución energética que muestra los neutrones mientras son moderados, realizando el balance Neutrónico durante el proceso de moderación, elemento infinitesimal, \( aqui \), espacio de energías.
Sea \( \phi(E) \) el flujo de neutrones de energía \( E \) por unidad de intervalo de energía, y \( \Sigma_{si}(E) \) la sección eficaz macroscópica correspondiente al núclido i. En esas condiciones, la velocidad de interacción neutrónica, qué será igual a la densidad de colisiones, vendrá dada por:

\( F_i(E) = \Sigma_{si}(E)·\phi(E) \)

Y el número de neutrones que salen del elemento \( dE \) por \( cm^3 \) y segundo como resultado de colisiones de dispersión con átomos del núclido i:

\( F_i(E)·dE = \Sigma_{si}(E)·\phi(E)·dE\)

Está ecuación nos da, por tanto, una medida de la energía total perdida en la moderación por los neutrones contenidos en el elemento \( dE \).
La densidad de colisiones y, a su vez, la velocidad de interacción neutrónica, vendrá dada por el número de colisiones que ocurran entre dos estados de energía \( E^\prime \quad y \quad E \). Si suponemos que la transición de energía ocurre en una sola colisión y que el neutrón que la sufre se queda con la mínima cantidad de ella tendremos:

\( \displaystyle \frac{E \; después}{E\; antes} = \alpha_i \Rightarrow \frac{E}{E^\prime} = \alpha_i\quad ; \quad con\; \alpha_i = \left(\frac{A_i-1}{A_i+1}\right)^2 \)

Siendo \( \alpha_i \) un parámetro relacionado con el número másico del elemento moderante y que aparece de considerar los principios de conservación del momento y la energía. Para saber el número de colisiones entre los dos estados de energía \( E^\prime \quad y \quad E \), tenemos:

Número de colisiones entre \( E^\prime \quad y \quad E \) = número de colisiones por elemento (\( dE^\prime \))

Y el número de colisiones por elemento vendrá dado por el cociente entre la energía perdida en dicho elemento y energía perdida por colisión. Esto es:

\( Número\; de\; colisiones\; por\; elemento\;\displaystyle (dE^\prime) = \frac{F_i(E^\prime)·dE^\prime}{E^\prime - \alpha_i·E^\prime} \)

De ese modo, la suma de colisiones por elemento pasa a ser una integral y tenemos:

\( \displaystyle F_i(E)·dE = \int_{E^\prime}^E \frac{F_i(E^\prime)·dE^\prime}{E^\prime(1 - \alpha_i)} = -\int^{E^\prime}_E \frac{F_i(E^\prime)·dE^\prime}{E^\prime( 1 -\alpha_i)} \)

Cómo hemos postulado que la transición de energías entre \( E \quad y \quad E^\prime \) en un solo salto:

\( dE = \alpha_iE^\prime - E = -(E- \alpha_iE^\prime) \)

Por lo que finalmente tendremos como valor de la densidad de moderación de neutrones:

\( \displaystyle q_i = \int_E^{E/\alpha_i}F_i(E^\prime)·\frac{(E-\alpha_iE^\prime)}{E^\prime(1-\alpha_i)}·dE^\prime \)

Por otro lado, tenemos que la función \( F_i(E) \) es inversamente proporcional a \( E \):

\( \displaystyle F_i(E) = \frac{c_i}{E} \)

Y esto nos permite escribir:

\( \displaystyle q_i = \int_E^{E/\alpha_i}\frac{c_i}{E^\prime}·\left[\frac{(E-\alpha_iE^\prime)}{E^\prime(1-\alpha_i)}\right]·dE^\prime \)

Naturalmente, los neutrones que son moderados estarán en igual número que los que son producidos, ya que estamos en régimen estacionario; por consiguiente:

\( \displaystyle \begin{array}{l}
q_i = s_i = c_i·E\int_E^{E/\alpha_i}\frac{dE^\prime}{(E^\prime)^2(1 - \alpha_i)} - c_i·\alpha_i\int_E^{E/\alpha_i}\frac{dE^\prime}{E^\prime)(1 - \alpha_i)}= \\
 \\
= \frac{c_iE}{1 - \alpha_i}\left[- \frac{1}{E^\prime}\right]_E^{E/\alpha_i}- \frac{c_i·\alpha_i}{1-\alpha_i}\left[\ln E^\prime\right]_E^{E/\alpha_i}= \\
 \\
= c_i - \frac{c_i·\alpha_i}{1 - \alpha_i}·\ln \left(\frac{1}{\alpha_i}\right) \\

\end{array} \)

O lo que es igual:

\( \displaystyle q_i = s_i = c_i\left(1 + \frac{\alpha_i}{1-\alpha_i}·\ln \alpha_i\right) = c_i\xi_i \)

La magnitud \( \xi_i \) recibe el nombre de decremento energético logarítmico medio y se define como el valor medio, para todas las colisiones, de la diferencia \( \ln E^\prime - \ln E \) siendo \( E^\prime \) la energía del neutrón antes de la colisión con el núclido "i" y \( E \) la energía después.
A partir de lo anterior podemos escribir:

\( \displaystyle c_i = F_i(E)·E= \frac{s_i}{\xi_i} = E·\Sigma_{si}·\phi(E) \)

Tenemos ahora que el número total de neutrones producidos, S, será la suma de los producidos por todos los núcleos y podremos escribir:

\( \displaystyle S = \sum_i^n s_i = \sum_i^n c_i\xi_i = \sum_i^n E·F_i(E)·\xi_i\qquad\quad (*) \)

Si consideramos en conjunto todos los núclidos la velocidad de interacción neutrónica vendrá dada por:

\( F(E) = \Sigma_s·\phi(E) \)

Y a partir de ahí tendremos:

\( \displaystyle \phi(E) = \frac{F(E)}{\Sigma_s} \Rightarrow F_i = \Sigma_{is}·\phi(E) = \frac{\Sigma_{si}}{\Sigma_s}·F(E) \)

Por lo que sustituyendo en la expresión (*):

\( \displaystyle \begin{array}{l}
S = \sum_i^n E· \frac{\Sigma_{si}}{\Sigma_s}·F(E)·\xi_i = E·F(E)\sum_i^n\frac{\Sigma_{si}}{\Sigma_s}·\xi_i = \\
\\
= E·F(E)·\bar{\xi}= E·\phi(E)·\Sigma_s·\bar{\xi }\qquad\quad (**)\\

\end{array} \)

Dónde \( \bar{\xi } \) valor medio de \( \xi_i \) cuando se consideran n núcleos distintos de moderador.
Para muchos propósitos resulta conveniente expresar la energía, E, de un neutrón en forma logarítmica, adimensional, definido una magnitud denominada letargia o decremento energético logarítmico por:

\( \displaystyle u = \ln \left(\frac{E_o}{E}\right) \)

En la que \( E_o \) es una energía arbitraria de referencia a la que corresponde letargia cero. Por lo general, si es un valor elevado a \( E_o \) (unos 10 MeV) de forma que casi todos los neutrones de un reactor tengan letargias positivas.
Si designamos por \( \phi(u) \) el flujo neutrónico por unidad de intervalo de letargia y por \( \phi(E) \) el flujo por unidad de intervalo de energía, se tendrá:

\( \phi(u)·du = - \phi(E)·dE\)

Siendo u la letargia correspondiente a la energía E, y dónde hemos introducido el signo menos porque en la letargia aumenta al disminuir la energía. Según se ve por la definición de letargia:

\( \displaystyle du = d\left[\ln\left(\frac{E_o}{E}\right)\right] = -\frac{dE}{E} \Rightarrow \phi(E) = -\phi(u)·\frac{du}{dE}= \phi(u)·\frac{1}{E} \)

Y llevando este resultado a (**):

\( \displaystyle S = E·\phi(u)·\frac{1}{E}·\Sigma_s·\xi = \phi(u)·\Sigma_s·\xi \)

Luego, finalmente:

\( \displaystyle \phi(u) = \frac{S}{\xi·\Sigma_s(u)} = \frac{q_o}{\xi·\Sigma_s(u)}\qquad c.q.d. \)

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