MONOGRAFIA.- MÉTODO DE RELAJACIÓN.
INTRODUCCIÓN
En diversos cursos de análisis matemático y ecuaciones
diferenciales pueden estudiarse métodos analíticos
que nos permiten resolver la ecuación de Laplace para
el potencial
Φ en determinados problemas
electrostáticos. En esta monografía se desarrolla
un método numérico de resolución de la
ecuación de Laplace, llamado método de relajación;
y una extensión del mismo, la sobrerelajación.
La ecuación de Laplace:
Es válida para regiones desprovistas de carga. En tales
regiones, el potencial
Φ es una función
armónica ( una función armónica es, por
definición, aquella para la cual la suma de sus segundas
derivadas es nula) y verifica, por tanto, que su valor medio
en una superficie esférica es igual al valor que toma
en el centro de la misma.
En efecto, supongamos que en el volumen V se verifica (1). Entonces,
aplicando el teorema de Gauss, tenemos:
Pero en la superficie esférica, tomando como origen de
coordenadas el centro de la misma, se verifica que:
Y será:
El desarrollo hecho más arriba puede efectuarse también
de otro modo. Teniendo en cuenta la figura adjunta, escribimos:
Y también:
Con lo cual:
Y también:
Pero teniendo en cuenta que:
Tenemos finalmente:
Y cuando la carga Q es nula:
Por lo tanto, si disminuimos R hasta que S se confunda con 0,
se obtiene lo que íbamos buscando.
Como veremos, la técnica de relajación está
íntimamente ligada a la validez diferencial de la naturaleza
media de las soluciones de la ecuación de Laplace.
FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS
TECNICAS DE RELAJACIÓN