INTEGRALES
DE FUNCIONES RACIONALES
Introducción
Método de Hermite.
En el caso de que el denominador tenga ceros múltiples
es posible y conveniente descomponer el integrando en la siguiente
forma:
Siendo en dicha expresión: Q1(x) el máximo
común divisor de Q(x) y Q’(x); Q2(x)
el cociente (exacto) entre Q(x) y Q1(x) y los polinomios
P1(x) y P2(x), de grados inferiores a
Q1(x) y Q2(x), respectivamente, cuyos
coeficientes se determinan por el método de los coeficientes
indeterminados.
La integral de la fracción propuesta viene entonces dada
en la forma:
Que se compone de una parte racional ya integrada y otra trascendente,
por tener Q2(x) todos sus ceros simples, ya que cada
raíz h-ple de Q(x) es raíz (h-1)-ple de Q1(x).
La determinación de Q1(x), Q2(x),
P1(x) y P2(x) es racional no exigiéndose
la determinación de los ceros y esta sólo se necesita
para el polinomio de menor grado, Q2(x), al calcular la parte
trascendente de la integral.
Demostración.
Sea el polinomio del denominador Q(x) con h raíces distintas:
Cada una de las cuales tenga multiplicidad a1,…,
ah, respectivamente. El grado de dicho polinomio
será, por ejemplo, n.
El polinomio Q1(x), máximo común divisor
de Q(x) y Q’(x) vendrá dado en la forma:
Y su grado será n-h.
Por último, el polinomio Q2(x), cociente exacto
entre Q(x) y Q1(x) será de la forma:
Y su grado será h (menor o igual que n).
Vamos a ver ahora cómo se determinan los polinomios P1(x)
y P2(x), de grados inferiores a Q1(x)
y Q2(x), respectivamente, que satisfagan la relación
(1 – MH) que se puede poner en la forma:
O lo que es igual:
Si, por ejemplo, P1(x) es un polinomio indeterminado
de grado (n-h)-1 y P2(x) otro polinomio de grado
(h-1), el número total de coeficientes indeterminados,
contando los términos independientes de los dos polinomios,
es n; y como el primer miembro, P(x), es a lo sumo, de grado
(n-1), se tiene un número suficiente de ecuaciones lineales
para determinarlos. Estas ecuaciones lineales forman un sistema
determinado, porque si fuera nulo su determinante, el sistema
homogéneo que resultaría tomando términos
independientes nulos, admitiría solución no formada
por ceros, es decir, habría dos polinomios no idénticamente
nulos, P1(x) y P2(x) que satisfarían
(1 – MH) y (2 – MH) para el polinomio idénticamente
nulo P(x) y resultaría de (2 – MH) (cuyo primer
miembro sería nulo) la igualdad de una función
racional, P1(x)/Q1(x), con una trascendente.
Ejemplo 4.- Determinar por el método de Hermite la integral
Formamos los distintos polinomios necesarios:
Y la ecuación de Hermite es:
Que da, igualando coeficientes, el siguiente sistema de ecuaciones:
En x4 , c = 0
En x³ , d – a – 2c = 0
En x² , c + e – a – 2b – 2d = 0
En x¹ , d – a – 2e = 0
En x0 , e – a – 2b = 1
Que tiene por solución:
a = ½ ; b = -3/4 ; c = 0 ; d = ½ ; e
= 0
Y la expresión a integrar resulta:
Calculamos la última integral por descomposición
en fracciones simples:
Igualando coeficientes obtenemos el sistema de ecuaciones lineales:
En x² , A + B = 0 ; en x¹ , C – B
= ½ ; en x0 , A – C = 0
Que tiene como solución:
A = ¼ ; B = - ¼ ; C = ¼
De ese modo la integral queda en la forma:
Y su solución es:
Con lo que la integral general queda en la forma:
FIN