Las condiciones se equilibrio o movimiento
rectilíneo uniforme del punto sometido a las fuerzas:
\(F_k = i·x_k + j·y_k + k·z_k \qquad (k = 1,2,\cdots , n)
\)
Son por lo tanto:
\(\displaystyle \sum_{k=1}^n X_k = 0 \; ; \;\sum_{k=1}^n Y_k
= 0 \; ; \;\sum_{k=1}^n Z_k = 0 \)
Como en general las componentes \(x_k, y_k, z_k\), dependerán
de las coordenadas x,y,z del punto, las ecuaciones anteriores
permiten determinarlas, quedando de este modo conocidas la
posición o posiciones de equilibrio del punto.
Si el, punto esta en un campo de fuerzas de potencial V
las ecuaciones anteriores adoptan la forma:
\(\displaystyle \frac{\partial V}{\partial x} = 0 \; ; \;\frac{\partial
V}{\partial y} = 0 \; ; \;\frac{\partial V}{\partial z} =
0 \)
Estas ecuaciones dicen que la posición o posiciones
de equilibrio del punto son aquellas para las cuales el potencial
ex máximo o mínimo. Las posiciones de potencial
mínimo son estables, pues al separar el punto de las
mismas, las fuerzas que lo solicitan le obligan a dirigirse
hacia ellas. En cambio las posiciones de máximo potencial
son de equilibrio inestable, como fácilmente se comprende.
ECUACIONES UNIVERSALES DEL EQUILIBRIO DE UN SÓLIDO
LIBRE
Todo sólido rígido puede considerarse como
un conjunto infinito de puntos materiales sometidos a acciones
reciprocas (fuerzas interiores) iguales y opuestas.
Si el sólido esta en equilibrio, cada uno de los
puntos que lo integran lo estará también bajo
la acción de la fuerza exterior o activa que pueda
solicitarle y la resultante de las fuerzas interiores que
los demás puntos ejercen sobre el. A cada punto concurren,
pues, una porción de fuerzas en equilibrio, y si consideramos
todos los puntos (o sea el sólido) tendremos un conjunto
infinito de sistemas de fuerzas en equilibrio, constituido
por todas las fuerzas exteriores que solicitan al cuerpo,
y todas las interiores; pero las interiores se equilibran
luego quedan las exteriores, que necesariamente deben estar
también en equilibrio.
La condición necesaria para que un sólido
este en equilibrio es, por lo tanto, que las fuerzas que lo
solicitan constituyan un sistema en equilibrio, es decir,
que su momento resultante respecto a un punto, 0 , y su resultante
sean nulos.
\(F_k = i·x_k + j·y_k + k·z_k \)
Si es una cualquiera de las fuerzas que solicitan al cuerpo,
y \(A(x_k, y_k, z_k)\) es un punto de aplicación, las
ecuaciones del equilibrio del sólido son:
\(\sum x_k = 0 \; ; \; \sum y_k = 0 \; ; \; \sum z_k = 0 \)
\(\sum (y_kZ_k - z_kY_k) = 0\; ; \; \sum (z_kX_k - x_k Z_k)
= 0 \)
\( \sum (x_kY_k - y_kX_k) = 0 \)
Las tres primeras expresan que la resultante de las fuerzas
que solicitan el cuerpo es nula; las otras tres indican que
su momento resultante respecto del origen de coordenadas es
también nulo.
Estas ecuaciones son necesarias para el equilibrio del cuerpo,
pero no son suficientes; pues un sólido sometido a
un sistema de fuerzas en equilibrio, que recibe un movimiento
inicial por un impulso extraño, toma un movimiento
por inercia, según se demuestra en dinámica. |