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MONOGRAFIAS MATEMÁTICAS

\( \alpha- \)ESTABILIDAD Y ROBUSTEZ DE SISTEMAS INTERCONECTADOS A LARGA ESCALA

INTRODUCCIÓN

Se estudia en este artículo la \( \alpha \)-estabilidad (o estabilidad con grado \( \alpha \)) de sistemas interconectados a larga escala. Se establece un teorema general sobre estabilidad que tiene aplicación en el caso de que los subsistemas considerados están gobernados por una ecuación funcional (mejor que una EDO). El teorema se aplica a la robustez. El resultado obtenido es una generación de las bien conocidas propiedades de los reguladores LQ. Es proporcionado un algoritmo que permite el diseño de un controlador para sistemas interconectados a gran escala.

Introducción
Los sistemos interconectados a gran escala han sido estudiados intensamente desde hace unos años (Siljak; Vidyasagar). Este hecho es interesante por varias razones: Por una parte, cuando el estado de un sistema tiene muchas componentes es bastante difícil analizar directamente su estabilidad por lo que es conveniente descomponerlo en subsistemas de baja dimensión. El análisis de la estabilidad de cada subsistema es fácil y solo hay que tomar en consideración las interconexiones.
Por otra parte, la descomposición de un sistema en subsistemas es un buen medio para diseñar un control robusto, por ejemplo, buen control de precisión. Este camino conduce a un interesante tipo de estabilidad: La estabilidad conectiva. Por definición, un sistema controlado es conectivamente estable si permanece estable cuando sus interconexiones son reemplazadas por otras más débiles,(en particular, para el caso en que los subsistemas son separados).
Sin embargo, no han sido suficientemente estudiadas varias interesantes propiedades de robustez de los sistemas interconectados a gran escala: Las importantes nociones de margen de fase y ganancia. Estos conceptos han sido examinados en el presente trabajo para distintos modelos de error y perturbaciones externas.
Consideremos el sistema lineal (S):

    \( \dot{x}(t) = A·x(t) + B·u(t)\qquad\qquad (1) \)
Que según Siljak puede ponerse en la forma:
    \(\dot{x}_j(t) = A_j·x_j(t) + D_j·x(t)+ B_j·u_j(t)\;, \; con\;1\leq j \leq n \qquad (2) \)
Dónde:
    \( \displaystyle D_j·x(t) = \sum_{\begin{array}{l}
    k=1 \\
    k\neq j
    \end{array}
    }^{n} A_{jk}·x_k(t) \)
Cada subsistema aislado viene dado por la ecuación:
    \( \dot{x}_j(t) = A_j·x_j(t) + B_j·u_j(t)\qquad \qquad (3) \)
Si aceptamos que el sistema \( (A_j,B_j) \) es estabilizable, podemos encontrar \( K_j \) tal es que el control:
    \( u_j = K_jx_j\)
Estabilice cada subsistema \(S_j \).
En la práctica, el control \( u_j \) será diferente: Los operadores tienen matrices de transferencia que, en realidad, no son iguales a la identidad. Sea \( L^j \) la matriz de impulso del j- ésimo canal de control; el control \( u_j \) viene dado por:
    \( u_j = L^j \ast K_j·x_j \qquad\qquad (4) \)
Dónde \( \ast \) denota el producto de convolución.
Por otra parte, la práctica, el sistema (S) está sujeto a modelos de error (incluido el error de linealización) qué podemos definir en general por g(x,t) así como a perturbaciones externas, \( v \). Con todo esto (1) debe ponerse:
    \( \dot{x}(t) = A·x(t) + B·u(t) + g(x,t) + G(v)(t)\qquad\qquad (5) \)
Dónde G es un operador.
El sistema en lazo cerrado \( \Sigma \) se escribe entonces por una ecuación de la forma:
    \( \dot{x}(t) = F·x(t) + G(v)(t)\qquad\qquad (6) \)
O equivalentemente:
    \(\dot{x}_j(t) = F_j(x_j)(t) + H_j(x)(t) + G_j(v)(t)\;, con \; 1\leq j \leq n \qquad \qquad (7) \)
Dónde:
    \( F_j(X_j) = A_jx_j + (B_jL_j\ast K_jx_j)\qquad \qquad (8) \)
y:
    \( H_j(x)(t) = D_jx(t) + g_j(x,t)\qquad\qquad (9) (\ast) \)
Y dónde F es un operador tal que la j-ésima proyección de F(x) es igual a:
    \( F_j(x_j) + H_j(x)\)
Podemos dirigir entonces el estudio hacia los sistemas de la forma (6) y (7).
La dificultad es que estas ecuaciones no son diferenciales ordinarias sino ecuaciones funcionales (Hale). Puesto que el método clásico de Lyapunov, por ejemplo, no se aplica a cada sistema, primero tenemos que desarrollar un método que se adapte a este caso. Sin embargo es conveniente generalizar al mismo tiempo la noción clásica de estabilidad: A grosso modo, el sistema \( \Sigma\) es, por ejemplo, asintóticamente estable (a.e.) sí en ausencia de una perturbación externa \( v \) y para cualquier condición inicial \( x_o \) se tiene:
    \( x(t) \rightarrow 0 \:,\: cuando \; t\rightarrow \infty \)
Si deseamos que \( \Sigma \) sea de tiempo constante \( \leq\tau \), con \( \tau> 0\), debemos elegir el control \( u \) tal que:
    \( \displaystyle \exp (\alpha t)x(t)\rightarrow 0\;cuando \; t \rightarrow \infty \;;\;con\: \alpha = \frac{1}{\tau} \)
En este caso decimos que \( \Sigma \) es asintóticamente \( \alpha \)-estable \( a·\alpha -e \).
Es también posible definir la \( \alpha \)-estabilidad en el sentido de entrada- salida (input-output \( \alpha \)-estabilidad), etc. Típicamente, un sistema lineal y estacionario cuyos autovalores son tales que:
    \( \Re (\lambda_j) < -\alpha \)
Es \(\alpha \) estable e \(i.e. \alpha\)-estable.
La sección 2 está dedicada a algunos preliminares (notación, convenciones y definiciones). En la 3 se establecen condiciones suficientes para la \( \alpha \) -estabilidad de un sistema \( \Sigma \). En la 4 se aplican las condiciones obtenidas a problemas de robustez y se muestra cómo elegir un control
    \( u = (u_1,..., u_n)\)
Que confiera al sistema \( \Sigma \) una propiedad de \( \alpha \)-estabilidad y de buenas propiedades de robustez. La sección 5 está dedicada a las conclusiones.
(*) en lo que sigue,\( H_j \) es llamado "operador de perturbación". La teoría solo es aplicable si el operador \( H_j\) no es "memoryless" ("sin memoria"). Algunos resultados ya publicados en Francia (Bourlès) son mantenidos como prueba.

Primer capítulo:

INTRODUCCIÓN

MONOGRAFIA EN 7 CAPÍTULOS
Capítulo dos : preliminares
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tema escrito por: José Antonio Hervás