| Si el plano secante
corta a todas las generatrices de la superficie, la sección
se denomina elipse. Si es paralelo a una sola generatriz la
sección producida se llama parábola. Si el plano
es paralelo a dos generatrices la sección recibe el
nombre de hipérbola.
Si es \(\alpha\) el Angulo de las generatrices con el eje
del cono, y \(\beta\) el Angulo que forma dicho eje con el
plano de la sección, la naturaleza de la cónica
viene determinada por las siguientes condiciones:
Si \(\alpha < \beta\) , se tiene una elipse
Si \(\alpha = \beta\) , se tiene una parábola
Si \(\alpha > \beta\) , se tiene una hipérbola
Cuando el plano de la sección es
perpendicular al eje del cono, la sección es una circunferencia.
De ahí que la circunferencia se considere como un caso
particular de la elipse.
  
Si M es un punto cualquiera de las tres secciones,
se verificará
Es decir, dicha relación es constante
ara todos los puntos en dicha sección. se representa
por \(\varepsilon\) y se llama excentricidad, siendo igual
a la razón que exste entre los cosenos de los ángulos
que forman con el eje del cono el plano de la sección
y de las genératrices rectilíneas de la superficie
cónica, es decir:
\( \displaystyle \varepsilon = \frac{\cos \beta}{\sin \alpha}\)
de ahí se tiene
Si la cónica es elipse\((\alpha
< \beta), \varepsilon < 1\)
si es parábola...........\((\alpha
= \beta), \varepsilon = 1\)
Si es hipérbola..........\((\alpha
> \beta), \varepsilon > 1\)
Ecuación de las conicas métricas
Consideremos en el plano euclideo un sistema
de referencia (O,i,j), un punto F de coordenadas \((\alpha
, \beta)\) y una recta d cuya ecuación sea a.x + b.y
+ c = 0.
Se define una cónica como el conjunto
de los puntos del plano determinado por F y d tales que la
razón de sus distancias al punto F y a la recta d es
constante. El punto F se llama foco de la curva, y la recta
d directriz de la misma La cónica se denominara elipse,
parábola o Hipérbola, según que la razón
constante sea menor, igual o mayor que la unidad.
En virtud de la definición dada, los puntos tales como
el P (fig. adjunta) han de satisfacer la siguiente relación:
\( \displaystyle \varepsilon = \frac{PF}{PM} = \frac{\sqrt{(x-\alpha)^2
+ (y-\beta)^2}}{\displaystyle \frac{|a·x + b·y + c|}{\sqrt{a^2+b^2}}}
= \)
\( \displaystyle = \frac{\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{(x-\alpha)^2
+ (y-\beta)^2}}{|a·x + b·y + c|} \)
Que también podemos poner:
\( \displaystyle = \frac{\varepsilon }{\sqrt{a^2+b^2}} = \frac{\sqrt{(x-\alpha)^2
+ (y-\beta)^2}}{|a·x + b·y + c|}
\)
Elevando al cuadrado, y llamando k a la expresión
\(\varepsilon / (a^2 + b^2)\) se tiene:
\( (x-\alpha)^2 + (y-\beta)^2- k(a·x + b·y + c)^2 = 0 \)
Ecuación de segundo grado que representara
una elipse, parábola o hipérbola según
se tenga :
\( k(a^2 + b^2) = \varepsilon\left\{ \begin{array}{c} < 1
\\ = 1 \\ > 1 \\ \end{array} \right. \)
Si tomamos el punto F como origen de un
sistema de referencia ortonormalizado,
y como eje 0X la perpendicular trazada por
F a la directriz, la ecuación anterior se simplifica
notablemente, ya que se tiene:
\( \displaystyle \varepsilon = \frac{PF}{PM} = \frac{\sqrt{x^2+y^2}}{
\displaystyle\frac{x+d}{\sqrt{1^2}}} \)
De donde podemos poner:
\( x^2+y^2 - \varepsilon^2(x+d)^2 = 0 \) |
