ESTUDIO DEL EFECTO TUNEL (PROBLEMA).
Se supone que un electrón con energía total E se
mueve en una región de energía potencial cero. En
x = 0 incide sobre una barrera de potencial \( V_o > 0 \) y
anchura a.
a) representar la figura correspondiente a la situación
dada
b) demostrar que las soluciones de la ecuación de onda
son:
\( \begin{array}{l} \Psi_1 = A·e^{ik_1x} + B·e^{-ik_1x}\quad
, \quad x < 0 \\ \\ \Psi_2 = C·e^{k_2x} + D·e^{-k_2x}\quad
, \quad a < x < 0 \\ \\ \Psi_3 = E·e^{ik_1x} \qquad , \quad
x > a \end{array} \)
Dónde:
\( \displaystyle k_1^2 = \frac{8\pi^2 mE}{\hbar^2}\quad ;
\quad k_2^2 = \frac{8\pi^2 m}{\hbar^2}(V_o - E) \)
c) expresar las constantes A, B y C en función de la
amplitud E de la onda transmitida.
d) Si se define el coeficiente de transmisión como:
\( \displaystyle T = \frac{|E|^2}{|A|^2} \)
Demuéstrese que:
\( T \rightarrow 1 \textrm{ cuando } a \rightarrow 0 \quad
ó \quad k_2 \rightarrow 0 \)
RESPUESTAS
Vamos a considerar un estado estacionario de energía
correspondiente al caso en que la partícula viaje hacia
la derecha. El esquema del proceso viene representado en la
figura adjunta.
Podemos aplicar la ecuación de Schrödinger independiente
del tiempo y en un supuesto unidimensional:
\( \displaystyle \frac{d^2 \Psi}{dx^2} + \frac{8\pi^2m}{\hbar^2}[E
- V(x)]\Psi = 0 \)
La ecuación de Schrödinger quedará para cada
una de las regiones en la forma:
\( \displaystyle \begin{array}{l}
(I)\quad \frac{d^2 \Psi}{dx^2} + \frac{8\pi^2}{\hbar^2m}·E\Psi
= 0\quad (III) \\
\\
(II) \frac{d^2 \Psi}{dx^2} + \frac{8\pi^2}{\hbar^2m}(E- V_o)\Psi
= 0
\end{array} \)
Las soluciones generales para cada caso son del tipo:
I)
\( \Psi(x) = A·e^{ik_1x} + B·e^{-ik_1x}\quad , \quad x < 0 \)
Con:
\( \displaystyle k_1^2 = \frac{8\pi^2 m}{\hbar^2}·E \)
II)
\( \Psi(x) = C·e^{k_2x} + D·e^{-k_2x}\quad , \quad a < x < 0\)
Con:
\( \displaystyle k_2^2 = \frac{8\pi^2 m}{\hbar^2}(V_o - E) \)
III)
\( \Psi(x) = E·e^{ik_1x} + F·e^{-ik_1x}\quad , \quad x >
a\)
Podemos eliminar de la solución (III) la onda que viaja
de derecha a izquierda por no tener realidad física. De
ese modo, F = 0 y queda resuelta la segunda parte del problema.
c) la continuidad de \( \Psi(x) \) para todos valor de x nos permite
escribir:
\( (1) \quad \Psi^I(0) = \Psi^{II}(0)\quad ; \quad (2)\quad
\Psi^{II}(a) = \Psi^{III}(a) \)
Análogamente, la continuidad de su derivada primera en
todo el rango nos da:
\( (3) \quad \Psi_d^I(0) = \Psi_d^{II}(0)\quad ; \quad (4)\quad
\Psi_d^{II}(a) = \Psi_d^{III}(a) \)
De estas cuatro ecuaciones podemos obtener:
\( \displaystyle \begin{array}{l}
(1)\quad A + B = C + D \\
\\
(2) \quad C·e^{k_2a} + D·e^{-k_2a} = E·e^{ik_1a}
\\
\\
(3)\quad ik_1A - ik_1B = k_2C - k_2D \\
\\
(4) \quad k_2C·e^{k_2a} + k_2D·e^{-k_2a} = ik_1E·e^{ik_1a}
\end{array} \)
Estas relaciones lineales y homogéneas entre los coeficientes
más podemos expresar en forma matricial:
\( \displaystyle \left(
\begin{array}{cccc}
1 & 1 & -1 & -1 \\
0 & 0 & e^{k_2a} & e^{-k_2a} \\
ik_1 & -ik_1 & -k_2 & k_2 \\
0 & 0 & k_2e^{k_2a} & k_2e^{-k_2a} \\
\end{array}
\right)\left(
\begin{array}{c}
A \\
B \\
C \\
D \\
\end{array}
\right) = \left(
\begin{array}{c}
0 \\
e^{ik_1a}E \\
0 \\
ik_1e^{ik_1a}E \\
\end{array}
\right) \)
A partir de esta ecuación podemos obtener la expresión
de la función de onda a ambos lados de la barrera. Una
solución interesante si tiene haciendo D = 0 qué
representa una onda incidente desde la izquierda, que se transmite
a través de la barrera hacia la derecha (efecto túnel).
También aparece una onda reflejada de amplitud B.
La expresión de A, B y C en función de E se obtiene
resolviendo la ecuación matricial. Aplicando la regla de
Cramer tenemos que el determinante de la matriz de los coeficientes
vale:
\( \triangle = 4·ik_1k_2 \)
Y nos determinantes correspondientes a cada una de las variables:
\( \displaystyle \begin{array}{l}
\triangle_A = - 2Ee^{ik_1a}[(k^2_1-k_2^2)\sinh k_2a + 2i·k_1k_2\coth
k_2a] \\
\\
\triangle_B = 2E·e^{ik_1a}(k_1^2 + k_2^2)\sinh k_2a \\
\\
\triangle_C = - 2E·e^{ik_1a}\left(ik_1k_2e^{-k_2a}- k_1^2e^{-k_2a}\right)
\end{array} \)
De ese modo (tomando adjunto para simplificar los cálculos)
tendremos:
\( \displaystyle \begin{array}{l}
A^\ast A = |A|^2 = |E|^2 \frac{(k^2_1-k_2^2)\sinh^2 k_2a + 4·k^2_1k^2_2\coth^2
k_2a}{4k_1^2k_2^2} \\
\\
B^\ast B = |B|^2 = |E|^2\frac{\left(k^2_1+k_2^2\right)^2\sinh^2
k_2a}{4k_1^2k_2^2} \\
\\
C^\ast C = |C|^2 = |E|^2 e^{-2k_1a}\left(\frac{k^2_1-k_2^2}{4k_1}\right)
\end{array} \)
El coeficiente de transmisión vendrá dado por:
\( \displaystyle T = \frac{|E|^2}{|A|^2} = \left[\frac{\left(k^2_1-k_2^2\right)\sinh^2
k_2a + 4k_1k_2\coth^2 k_2a}{4k_1^2k_2^2}\right]^{-1} \)
Pero recordando la expresión:
\(\coth^2 k_2 a - \sinh^2 k_2 a = 1 \)
Y teniendo en cuenta los valores de \( k^2_1 \quad y\quad k_2^2
\), nos quedará:
\( \displaystyle T = \left[1 + \frac{V_o^{\:2}·\sinh^2
k_2 a}{4E(V_o-E)}\right]^{-1} \)
Dónde es fácil ver que sí \( k_2 \rightarrow
0\; ó \; a \rightarrow 0 \) se tiene \( \sinh^2 k_2 a\rightarrow
0 \) y, en consecuencia,\( T \rightarrow 0 \), cómo queríamos
demostrar.
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