\( \displaystyle P_{int} = \sum_i \vec{f}_{ij}· \left(\vec{w}
\wedge \vec{r}_{\, ij} \right) = 0 \qquad (7) \)
Es decir, la potencia interior es nula. Por otra parte:
\( \displaystyle P'_{ext} = \sum_i \vec{F_i}· \vec{v'_i}
= \sum_i \vec{F_i}· \left(\vec{w} \wedge \vec{r_i}\right)
= \)
\( = \left(\sum_i \vec{r_i} \wedge \vec{F_i}\right) · \vec{w}
= \vec{M} · \vec{w} \qquad (8) \)
Y la energía cinética propia será:
\( \displaystyle E'_c = \frac{1}{2} \sum_i m_i · v'_i^2
= \frac{1}{2} \sum_i m_i \left(\vec{w} \wedge \vec{r_i}\right)^2
= \frac{1}{2} \sum_i m_i \rho_i^2 · w^2 \)
Donde hemos considerado \(r_i · \sin \theta_i = \rho_i \).
Poniendo ahora:
\( \displaystyle I = \sum_i m_i · \rho _i^2 \qquad \)
Podemos hacer:
\( \displaystyle E'_c = \frac{1}{2} · I · w^2 \qquad (9)\)
Definiendo la cantidad I como el momento
de inercia del sólido respecto del eje de pasa por
C y contiene a \( \vec{w} \; \). I varia al cambiar la dirección
de \( \vec{w} \; \) respecto del sólido.
Teniendo en cuenta la ecuación que nos da la potencia
interior del sólido rígido, junto con las
ecuaciones (8) y (9), las ecuaciones (4) y (5) en el caso
de un sólido adoptan la forma siguiente:
\( \displaystyle \vec{R} = \frac{d\vec{P}}{dt}= m· \vec{a_c}
\qquad ; \qquad \vec{R} · \vec{v_c} = \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}mv^2_c
\right) \qquad \)
en un (R.I) (11)
\( \displaystyle \vec{M} = \frac{d\vec{L}}{dt} \qquad
; \qquad \vec{M} · \vec{w} = \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}Iw^2
\right) \qquad \)
en el (R.P.) (12)
De estas ultimas ecuaciones se han quitado las “primas”
porque no hay lugar a confusión.
