DINÁMICA
DEL SÓLIDO - SISTEMA DE PUNTOS RÍGIDO
Las ecuaciones de la dinámica de los sistemas:
\( \displaystyle \vec{R} = \frac{d\vec{P}}{dt}\qquad y \qquad
\vec{M} = \frac{d\vec{L}}{dt} \qquad (1) \)
Se aplican al caso importante de un SISTEMA de puntos RÍGIDO.
El sistema anterior que viene determinado por seis ecuaciones,
es en este caso suficiente, pues seis son los grados de libertad
de un sólido: tres coordenadas lineales de un punto,
generalmente su centro de inercia (\(X_c,Y_c,Z_c)\), donde
se sitúa el origen del triedro propio (R.P.), y tres
coordenadas angulares, llamadas los ángulos de Euler
(\(\psi, \phi, \theta\)), rotación propia, precesión
y nutación.
El campo de velocidades del sólido queda definido por
el vector:
\(\vec{v_c} = \dot{x}_c·\hat{i} + \dot{y}_c·\hat{j} + \dot{z}_c·\hat{k}\)
Y el seudovector \( \vec{w} \; \) puede también expresarse
en función de \(\dot{\psi}, \dot{\phi} \textrm{ y } \dot{\theta}\),
velocidades de rotación propia, precesión y nutación.
\(\vec{v_i} = \vec{v_c} + \vec{w}\wedge \vec{r_i} \qquad ;
\qquad \vec{v'_i} = \vec{w}\wedge \vec{r_i} \)
Según la ecuación superior izquierda, el movimiento
de un sólido en el caso mas general, es la superposición
de un movimiento de traslación con velocidad \(\vec{v_c}\)
y uno de rotación alrededor de un eje por C en la dirección
de \( \vec{w} \; \).
Tanto \(\vec{v_c}\) como \( \vec{w} \; \) pueden variar en modulo
y dirección con el tiempo.
La ecuación derecha, de las superiores, describe el campo
de velocidades en el Referencial Propio , donde solo se manifiesta
el movimiento de rotación.
Las ecuaciones de la dinámica de los sistemas, vistas
anteriormente (1), pueden adoptar la forma siguiente:
\( \displaystyle \vec{R} = m· \vec{a_c} \textrm{ o bien }
\vec{R} · \vec{v_c} = \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}mv^2_c
\right) \qquad (4) \)
Cuando se escriben en base a un Referencial Inercial (R.I)
\( \displaystyle \vec{M'} = \frac{d\vec{L'}}{dt} \quad ;
\quad P'_{ext} + P_{int} = \frac{d\vec{E'_c}}{dt} \qquad
(5) \)
Cuando se expresan en base al Referencial Propio (R.P.)
La potencia desarrollada por las fuerzas interiores es:
\( P_{int} = \displaystyle\sum_i \left( \vec{f}_{ij}· \vec{v_i}
+ \vec{f}_{ji}· \vec{v_j} \right) \)
Extendida la suma a todas las parejas de puntos.
Si las fuerzas son centrales:
\( \displaystyle \begin{array}{l}
\left(\vec{f}_{ij} = - \vec{f}_{ji}\right) \Rightarrow \\
\\
\Rightarrow P_{int} = \sum_i \vec{f}_{ij} \left(\vec{v_i} - \vec{v_j} \right) = \sum_i \vec{f}_{ij} \vec{v}_{\; ij} \quad (6)
\end{array}\)
Y tiene el mismo valor en todos los sistemas de referencia.
Téngase en cuenta, que el formulismo de Newton solo
se aplica a interacciones centrales, que satisfacen a la ley
de acción - reacción.
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