MONOGRAFIA.- ESTUDIO DE LA CONDUCCIÓN
EN SÓLIDOS.
MEDIOS CONDUCTORES
MODELO DE DRUDE – LORENTZ
Nuestro problema es relacionar la densidad de corriente, j,
que caracteriza el transporte de cargas, con el campo eléctrico,
causa de este transporte. Para simplificar la notación,
consideraremos que las cargas libres son todas idénticas.
Definiremos dos densidades:
\( \displaystyle \rho_m = \frac{dq_m}{dV} \quad ; \quad \delta_m
= \frac{dm_m}{dV} \)
Siendo la primera de ellas la densidad de carga móvil,
con dqm la suma de carga libre en dV y la segunda de ellas la
densidad de masa, con dmm la suma de las masas de la carga libre
contenida en dV.
Además se cumple:
\( \displaystyle \frac{\rho_m}{\delta_m} = \frac{q}{m} \)
Que la relación entre dichas densidades es igual al cociente
de la carga a la masa de cada partícula libre.
Este modelo supone que las cargas móviles se mueven desordenadamente,
produciendo un gran número de choques cuyo principal
efecto es el de anular el valor medio de su velocidad en ausencia
de un campo eléctrico.
En presencia de campo eléctrico, E, la ecuación
del movimiento entre dos colisiones es:
\( \displaystyle m·\frac{d\vec{v}}{dt} = q·\vec{E} \)
Que se integra suponiendo E constante en el espacio donde se
mueve la partícula, para dar:
\( \displaystyle \vec{v}= \vec{v}_o + \frac{q}{m}\vec{E}·t
\)
Siendo vo la velocidad de la carga inmediatamente después
de la colisión (para t = 0).
La hipótesis principal de este modelo consiste en suponer
que inmediatamente después de una colisión, cada
partícula ha perdido todo “recuerdo” de su
movimiento anterior y, en consecuencia, si se evalúa
en un instante cualquiera la media sobre el gran número
de partículas contenidas en el elemento dV:
\( \displaystyle \langle \vec{v}_o \rangle = 0 \; y \; \langle
\vec{v}\rangle = \frac{q}{m}\vec{E}·\tau = \mu·\vec{E}\quad
(*) \)
Donde τ es el tiempo medio transcurrido entre dos colisiones
y μ es la denominada movilidad de las cargas libres.
La densidad de corriente es, pues:
\( \displaystyle \vec{j} = \langle \vec{v}\rangle =\rho_m
\mu·\vec{E} = \frac{\rho_m^2 \tau}{\delta_m}·\vec{E} \)
El coeficiente
\( \displaystyle g = \frac{\rho_m^2 \tau}{\delta_m} = \rho_m
\mu \)
Que es siempre positivo, es característico del material
y se denomina conductividad, siendo su inversa la resistividad,
\( \displaystyle \eta = \frac{1}{g} \)
La relación dada para la conductividad se generaliza
para el caso de portadores de varios tipos en la forma:
\( \displaystyle g = \sum_k \rho_{mk} \mu_k \)
La relación:
\( \vec{j} = g·\vec{E} \)
Se conoce con el nombre de ley local de Ohm.
Podemos presentar de otra manera distinta el mismo mecanismo,
para profundizar en el concepto del tiempo τ o tiempo de
relajación.
La carga ρ
mdV contenida en un elemento de volumen
dv está sometida a la fuerza del campo eléctrico,
de valor:
\( \overrightarrow{dF_1} = \rho_mdV·\vec{E} \)
Y el efecto de las colisiones puede representarse por una fuerza
análoga a la de rozamiento:
\( \overrightarrow{dF_2} = -a\langle \vec{v}\rangle dV \)
La ecuación del movimiento de las cargas contenidas en
el elemento de volumen dV se puede escribir:
\( \displaystyle \begin{array}{l} \delta_m dV ·\frac{d \langle
\vec{v}\rangle}{dt} = \rho_m dV·\vec{E} - a\langle \vec{v}\rangle
dV \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow \frac{d \langle \vec{v}\rangle}{dt}+\frac{a}{\delta_m}\langle
\vec{v}\rangle =\frac{\rho_m}{\delta_m}\vec{E} \end{array}
\)
Integrando esta ecuación y suponiendo que para t = 0,
<v> = 0, porque aplicamos el campo E para t = 0, resulta
\( \displaystyle \langle \vec{v}\rangle =\frac{\rho_m}{a}·\vec{E}\left[1
- \left(\frac{a}{\delta_m}t\right)\right]\quad (**) \)
Y la velocidad límite será:
\( \displaystyle \langle \vec{v}\rangle =\frac{\rho_m}{a}·\vec{E}
\)
Que es alcanzada con una constante de tiempo δ
m/a.
Identificando esta última fórmula con la ecuación
(*) queda:
\( \displaystyle \begin{array}{l} \langle \vec{v}\rangle =\frac{\rho_m}{a}\vec{E}
\qquad y \qquad \langle \vec{v}\rangle =\frac{q}{m}·\vec{E}\tau
\Rightarrow \\ \\ \Rightarrow \frac{\rho_m}{a} = \frac{q}{m}·\tau
= \frac{\rho_m}{a}·\tau \Rightarrow a = \frac{\delta_m}{\tau}
\end{array} \)
La constante de tiempo δ
m/a de la exponencial
no es otra cosa que τ, y la velocidad límite es alcanzada
en un tiempo muy pequeño, lo que permite despreciar al
término exponencial de
\( \displaystyle \langle \vec{v}\rangle =\frac{\rho_m}{a}·\vec{E}\left[1
- \exp \left(\frac{t}{\tau}\right)\right] \Rightarrow \langle
\vec{v}\rangle =\frac{\rho_m}{a}·\vec{E} = \frac{\rho_m}{\delta_m}·\tau\vec{E}
\)
Con lo que nos queda la misma fórmula de partida que
en la explicación inicial y podemos llegar al mismo resultado:
\( \vec{j} = g·\vec{E} \)
Teniendo en cuenta que
\(\displaystyle g = \frac{\rho_m^2 \tau}{\delta_m} = \rho_m
\mu\quad (\#) \)
La ley de Ohm local tiene sus limitaciones. La hipótesis
\(<v_o>\) = 0 no es válida si \(<v>\) es
comparable a la velocidad de agitación de las cargas
móviles, lo que ocurre cuando E es grande (por ser \(<v>\)
proporcional a E). Al aumentar E la hipótesis de partida
debe ser abandonada y j ya no es función lineal de E
(g no es un escalar).
Por otra parte, si el campo E varía con suficiente rapidez
frente a τ, no podemos considerar que en cada instante el
valor límite correspondiente de la velocidad es alcanzado
y despreciar la exponencial en (**)
INFLUENCIA DE LA TEMPERATURA EN LA RESISTIVIDAD DE LOS
MATERIALES
La resistividad η de un material y, por tanto, su conductividad,
depende de las condiciones físicas en las que se encuentra
el material y particularmente de su temperatura.
La temperatura puede intervenir en los dos factores de los que
depende g, en el número de cargas móviles, ρ
m
y en su movilidad, μ (#)
Para metales el número de portadores es independiente
de la temperatura y la resistividad aumenta con ella, pues disminuya
la duración media entre choques sucesivos al crecer la
velocidad de los portadores de carga.
\( \displaystyle g = \frac{\rho_m^2 \tau}{\delta_m} = \rho_m
\mu\quad (\#) \)
Si \(\tau\) disminuye \(\eta\) = 1/g aumenta.
A cada temperatura y para cada metal se define un coeficiente
de variación de la resistividad con la temperatura dado
por:
\( \displaystyle \alpha = \frac{1}{\eta}·\frac{d\eta}{dt}
\)
Donde hemos supuesto que el conductor no varía de dimensiones;
α es el coeficiente de temperatura del metal, que se puede
considerar constante para temperaturas superiores a 0 ºC
y en dominios reducidos. Entonces la resistividad es una función
lineal afín de la temperatura y podemos escribir:
\( \eta = \eta_o (1+ \alpha t) \)
Donde η
o es la resistividad a 0 ºC y t es
la temperatura Celsius.
En un dominio más amplio se adopta un desarrollo del
tipo:
\( \eta = \eta_o (1+ \alpha t + \beta·t^2 + \cdots)
\)
Para temperaturas bajas la
ley deja de ser lineal y hacia los 30 ºK tenemos
una ecuación de la forma:
|
 |
Para temperaturas muy bajas aparece el fenómeno de la
superconductividad, donde \(\eta\) se hace nula.
Podemos ver la gráfica de variación de la resistividad
con la temperatura para un metal en particular, por ejemplo,
para el estaño.
En el caso de semiconductores, la variación de la conductividad
tiene dos casos según sea el semiconductor intrínseco
o extrínseco.
Para semiconductores intrínsecos a temperaturas bajas,
no existen electrones libres. Cuando la temperatura aumenta,
la relación entre el número de electrones liberados
y el número total de electrones de valencia crece. Por
tanto, la resistividad intrínseca disminuye con la temperatura
(curva I). La variación de la resistividad, no lineal,
se puede representar, salvo a bajas temperaturas por
\( \eta = A·\exp (- B/T) \)
Con A y B constantes positivas.
El coeficiente de temperaturas \(\alpha\):
\( \displaystyle \alpha = \frac{1}{\eta}·\frac{d\eta}{dt}
= \frac{1}{\eta}·\frac{d\eta}{dT} = - \frac{B}{T^2} < 0 \)
Y el módulo de \(\alpha\) disminuye al aumentar la temperatura
(aplicación a las termistencias).
Para semiconductores extrínsecos (positivos o negativos)
la resistividad es prácticamente independiente de la
temperatura aunque es bastante inferior a la intrínseca
y decrece con la concentración de impurezas, salvo a
temperaturas muy elevadas (curva II)
Podemos ver como ejemplo la dependencia de la resistividad con
la temperatura para el caso del silicio (semiconductor intrínseco)
y el silicio dopado o con impurezas (semiconductor extrínseco).
