APUNTES SOBRE CÁLCULO DE
VARIACIONES
Uno de los problemas característicos a los que dan solución
las técnicas propias del cálculo de variaciones es el
de hallar la curva que hace extremal una integral curvilínea
dada.
En esta monografía vamos a considerar el problema en forma
unidimensional, es decir, determinaremos la curva y = f(x) entre
los valores x
1 y x
2 tal que la integral
curvilínea de cierta función \( f(y ,\dot{y} , x)
\), donde \( \dot{y} \)= dy/dx, sea extremal, es decir, que la
integral:
\( \displaystyle J = \int_{x_1}^{x_2} f(y, \dot{y}, x )dx \qquad
(1)\)
Ha de ser máxima o mínima. En este caso la variable
x desempeña el papel del parámetro t.
Vamos a plantear el problema de forma que nos permita emplear
los métodos ordinarios del cálculo diferencial para
obtener valores extremos. Para ello, hacemos corresponder a cada
una de las posibles curvas y(x) un valor diferente de determinado
parámetro α, de modo que para ciertos valores de
α la curva coincida con la trayectoria o trayectorias que
extreman la integral. Por lo tanto, y será función
de x y α. De ese modo, si representamos la función
y(x , a) por:
\( y(x,\alpha ) = y(x,0) + \alpha ·\eta (x) \qquad (2)\)
Donde η(x) es una función cualquiera de x que se anula
para x = x
1 y x = x
2. También la
integral J de (1) será función de α:
\( \displaystyle J(\alpha) = \int_{x_1}^{x_2} f[y(x, \alpha), \dot{y}(x, \alpha), x ]dx\qquad (3) \)
La condición para obtener un máximo o un mínimo
de J como función de α será la misma que se
necesita en el cálculo diferencial, es decir:
\( \displaystyle \frac{\partial J}{\partial \alpha} = 0 \textrm{ para }\alpha = 0 \qquad (4) \)
Derivando (3) bajo el signo integral, tenemos:
\( \displaystyle \begin{array}{l}
\frac{\partial J}{\partial \alpha} = \int_{x_1}^{x_2}\left[\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial \alpha} + \frac{\partial f}{\partial \dot{y}}\frac{\partial \dot{y}}{\partial \alpha} \right]dx = \\
\\
= \int_{x_1}^{x_2}\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial \alpha}dx + \int_{x_1}^{x_2}\frac{\partial f}{\partial \dot{y}}\frac{\partial \dot{y}}{\partial \alpha} dx
\end{array} \)
Si tomamos la segunda de las integrales podemos hacer:
\( \displaystyle \int_{x_1}^{x_2}\frac{\partial f}{\partial \dot{y}}\frac{\partial \dot{y}}{\partial \alpha} dx = \int_{x_1}^{x_2}\frac{\partial f}{\partial \dot{y}}\frac{\partial^2 y}{\partial x \alpha} dx \)
E integrando por partes, tenemos:
\( \displaystyle \int_{x_1}^{x_2}\frac{\partial f}{\partial \dot{y}}\frac{\partial^2 y}{\partial x \alpha} dx = \left[ \frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial x} \right]_{x_1}^{x_2} -
\int_{x_1}^{x_2}\frac{d}{dx}\left(\frac{\partial f}{\partial \dot{y}}\right)\frac{\partial y}{\partial \alpha} dx\qquad (5) \)
Puesto que partimos de la expresión:
\( \displaystyle \frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial \dot{y}}·\frac{\partial \dot{y}}{\partial \alpha}\right) =
\frac{d }{d x}\left(\frac{\partial f}{\partial \dot{y}}\right) \frac{\partial y}{\partial \alpha}+ \frac{\partial f}{\partial \dot{y}}·
\frac{\partial^2 y}{\partial x \partial \alpha} \)
Donde se considera d/dx por ser f función sólo de
x.
Todas las curvas que estamos considerando han de cumplir la condición
de pasar por los puntos (x
1, y
1) y (x
2,
y
2) y, por tanto,\( \partial y / \partial \alpha \)
se anulará en x
1 y x
2. Por ello se
hace cero el primer término de (5) y la derivada parcial
de J respecto \( \alpha \) se puede poner:
\( \displaystyle \begin{array}{l}
\frac{\partial J}{\partial \alpha} = \int_{x_1}^{x_2}\frac{\partial
f}{\partial y}\frac{\partial y}{ \alpha} dx - \int_{x_1}^{x_2}\frac{d}{d
x }\left( \frac{\partial f}{\partial \dot{y}}\right)\frac{\partial
\dot{y}}{ \alpha} dx = \\
\\
= \int_{x_1}^{x_2} \left[\frac{\partial f}{\partial y} - \frac{d}{dx}\frac{\partial
f}{\partial \dot{y}}\right]· \frac{\partial y}{\partial
\alpha}dx \qquad (6)
\end{array} \)
Multiplicando todos los términos por dα y singularizando
para a = 0, resulta:
\( \displaystyle \left(\frac{\partial J}{\partial \alpha}\right)_0
d \alpha = \int_{x_1}^{x_2} \left[\frac{\partial f}{\partial
y} - \frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial \dot{y}}\right]·
\frac{\partial y}{\partial \alpha}dx·d \alpha \qquad (7) \)
Si ponemos ahora:
\( \displaystyle \left(\frac{\partial J}{\partial \alpha}\right)_0 d \alpha = \delta J \quad ; \quad \left(\frac{\partial y}{\partial \alpha}\right)_0 d \alpha = \delta y \quad ; \quad \left(\frac{\partial \dot{y} }{\partial \alpha}\right)_0 d \alpha = \delta \dot{y} \)
Donde \( \delta J\, , \, \delta y \, , \,\delta \dot{y} \) son,
respectivamente, la variación de ,\( J\, , \, y \; e \;
\dot{y} \) la ecuación anterior queda en la forma:
\( \displaystyle \delta J = \int_{x_1}^{x_2}\left[\frac{\partial f}{\partial y}- \frac{d}{dx}\left(\frac{\partial f}{\partial \dot{y}}\right) \right]\delta y dx = 0 \)
En esta expresión, \( \delta y \equiv \triangle y \) representa cierta variación
arbitraria de y(x), obtenida por variación del parámetro
α en un entorno del punto 0. Es lo que se define como desplazamiento
virtual.
Como \( \delta y \) es arbitraria, podemos decir que para que la expresión
anterior sea nula ha de hacerse 0 el término entre corchetes,
es decir:
\( \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}- \frac{d}{dx}\left(\frac{\partial f}{\partial \dot{y}}\right) = 0 \qquad (8) \)
Vemos entonces que J sólo es extremal para las curvas y(x)
tales que f satisfaga la ecuación diferencial anterior,
que tiene una forma semejante a la de las ecuaciones de Lagrange
y se conocen como ecuaciones de Euler.
EJEMPLOS RESUELTOS DEL CALCULO
DE VARIACIONES