En otro de nuestros artículos, demostramos un teorema
cuyo enunciado dice lo siguiente:
TEOREMA
Sea p un número primo no divisor de \( (a\pm b) \) y
sea mcd(a,b) = 1; entonces los factores primos de \( (a^p \pm
b^p) \) que no estén contenidos en \( (a\pm b) \) , sólo
pueden ser de la forma
Este teorema lo tenemos demostrado en el trabajo CARACTERIZACION
DE LOS FACTORES DE LA SUMA DE DOS NUMEROS ENTEROS ELEVADOS A
UNA MISMA POTENCIA (vease)
Con estos prolegómenos, vamos estudiar el comportamiento
de expresiones como \((a^p + b^p)\) escribiendo:
Comenzamos con
\( \displaystyle \frac{n^3 -1}{n-1} \quad (2) \)
Donde dividimos por el término (n-1) para dejar solo los
factores que afectan a este estudio.
Dando a n valores naturales, tenemos:
| Primo/Compuesto |
Número |
Resultado |
P
P
C
P
P
C
P
C
C
C
P
C
P
P
C
P
C
C
P
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C
C
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C
C
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C
C
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C
C
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C
C
C
C
C
C
P
C
C
C
P
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C
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C
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C
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C
C
C
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C
C
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C
P
C
C
C
P
C
P
P
C
P
C
C
C
C
C
C
C
C
P
P
C
C
C
C
C
C
C
C
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C
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C
C
C
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C
C
C
C
P
P
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C
C
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C
C
C
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C
C
C
C
C
C
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C
C
C
C
C
C
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C
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C
P
C
C
C
P
C
C
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C
C
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C
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C
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C
C
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C
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C
C
C
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C
C
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C
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C
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C
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C
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C
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C
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C
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C
C
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C
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C
C
C
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C
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C
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C
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C
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C
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C
C
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C
C
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C
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C
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376
377
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498
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7 = 7
13 = 13
21 = 3 · 7
31 = 31
43 = 43
57 = 3 · 19
73 = 73
91 = 7 · 13
111 = 3 · 37
133 = 7 · 19
157 = 157
183 = 3 · 61
211 = 211
241 = 241
273 = 3 · 7 · 13
307 = 307
(7)^3 = (7)^3
381 = 3 · 127
421 = 421
463 = 463
507 = 3 · 13^2
553 = 7 · 79
601 = 601
651 = 3 · 7 · 31
703 = 19 · 37
757 = 757
813 = 3 · 271
871 = 13 · 67
931 = 7^2 · 19
993 = 3 · 331
1057 = 7 · 151
1123 = 1123
1191 = 3 · 397
1261 = 13 · 97
1333 = 31 · 43
1407 = 3 · 7 · 67
1483 = 1483
1561 = 7 · 223
1641 = 3 · 547
1723 = 1723
1807 = 13 · 139
1893 = 3 · 631
1981 = 7 · 283
2071 = 19 · 109
2163 = 3 · 7 · 103
2257 = 37 · 61
2353 = 13 · 181
2451 = 3 · 19 · 43
2551 = 2551
2653 = 7 · 379
2757 = 3 · 919
2863 = 7 · 409
2971 = 2971
3081 = 3 · 13 · 79
3193 = 31 · 103
3307 = 3307
3423 = 3 · 7 · 163
3541 = 3541
3661 = 7 · 523
3783 = 3 · 13 · 97
3907 = 3907
4033 = 37 · 109
4161 = 3 · 19 · 73
4291 = 7 · 613
4423 = 4423
4557 = 3 · 7^2 · 31
4693 = 13 · 19^2
4831 = 4831
4971 = 3 · 1657
5113 = 5113
5257 = 7 · 751
5403 = 3 · 1801
5551 = 7 · 13 · 61
5701 = 5701
5853 = 3 · 1951
6007 = 6007
6163 = 6163
6321 = 3 · 7^2 · 43
6481 = 6481
6643 = 7 · 13 · 73
6807 = 3 · 2269
6973 = 19 · 367
7141 = 37 · 193
7311 = 3 · 2437
7483 = 7 · 1069
7657 = 13 · 19 · 31
7833 = 3 · 7 · 373
8011 = 8011
8191 = 8191
8373 = 3 · 2791
8557 = 43 · 199
8743 = 7 · 1249
8931 = 3 · 13 · 229
9121 = 7 · 1303
9313 = 67 · 139
9507 = 3 · 3169
9703 = 31 · 313
9901 = 9901
10101 = 3 · 7 · 13 · 37
10303 = 10303
10507 = 7 · 19 · 79
10713 = 3 · 3571
10921 = 67 · 163
11131 = 11131
11343 = 3 · 19 · 199
11557 = 7 · 13 · 127
11773 = 61 · 193
11991 = 3 · 7 · 571
12211 = 12211
12433 = 12433
12657 = 3 · 4219
12883 = 13 · 991
13111 = 7 · 1873
13341 = 3 · 4447
13573 = 7^2 · 277
13807 = 13807
14043 = 3 · 31 · 151
14281 = 14281
14521 = 13 · 1117
14763 = 3 · 7 · 19 · 37
15007 = 43 · 349
15253 = 7 · 2179
15501 = 3 · 5167
15751 = 19 · 829
16003 = 13 · 1231
16257 = 3 · 5419
16513 = 7^2 · 337
16771 = 31 · 541
17031 = 3 · 7 · 811
17293 = 17293
17557 = 97 · 181
17823 = 3 · 13 · 457
18091 = 79 · 229
18361 = 7 · 43 · 61
18633 = 3 · 6211
18907 = 7 · 37 · 73
19183 = 19183
19461 = 3 · 13 · 499
19741 = 19 · 1039
20023 = 20023
20307 = 3 · 7 · 967
20593 = 20593
20881 = 7 · 19 · 157
21171 = 3 · 7057
21463 = 13^2 · 127
21757 = 21757
22053 = 3 · 7351
22351 = 7 · 31 · 103
22651 = 22651
22953 = 3 · 7 · 1093
23257 = 13 · 1789
23563 = 23563
23871 = 3 · 73 · 109
24181 = 24181
24493 = 7 · 3499
24807 = 3 · 8269
25123 = 7 · 37 · 97
25441 = 13 · 19 · 103
25761 = 3 · 31 · 277
26083 = 26083
26407 = 26407
26733 = 3 · 7 · 19 · 67
27061 = 27061
27391 = 7^2 · 13 · 43
27723 = 3 · 9241
28057 = 28057
28393 = 28393
28731 = 3 · 61 · 157
29071 = 7 · 4153
29413 = 67 · 439
29757 = 3 · 7 · 13 · 109
30103 = 30103
30451 = 37 · 823
30801 = 3 · 10267
31153 = 31153
31507 = 7^2 · 643
31863 = 3 · 13 · 19 · 43
32221 = 7 · 4603
32581 = 31 · 1051
32943 = 3 · 79 · 139
33307 = 19 · 1753
33673 = 151 · 223
34041 = 3 · 7 · 1621
34411 = 13 · 2647
34783 = 7 · 4969
35157 = 3 · 11719
35533 = 35533
35911 = 35911
36291 = 3 · 12097
36673 = 7 · 13^2 · 31
37057 = 37057
37443 = 3 · 7 · 1783
37831 = 37831
38221 = 37 · 1033
38613 = 3 · 61 · 211
39007 = 19 · 2053
39403 = 7 · 13 · 433
39801 = 3 · 13267
40201 = 7 · 5743
40603 = 19 · 2137
41007 = 3 · 13669
41413 = 41413
41821 = 13 · 3217
42231 = 3 · 7 · 2011
42643 = 42643
43057 = 7 · 6151
43473 = 3 · 43 · 337
43891 = 43891
44311 = 73 · 607
44733 = 3 · 13 · 31 · 37
45157 = 7 · 6451
45583 = 79 · 577
46011 = 3 · 7^2 · 313
46441 = 46441
46873 = 19 · 2467
47307 = 3 · 13 · 1213
47743 = 47743
48181 = 7 · 6883
48621 = 3 · 19 · 853
49063 = 7 · 43 · 163
49507 = 31 · 1597
49953 = 3 · 16651
50401 = 13 · 3877
50851 = 211 · 241
51303 = 3 · 7^2 · 349
51757 = 73 · 709
52213 = 7 · 7459
52671 = 3 · 97 · 181
53131 = 13 · 61 · 67
53593 = 53593
54057 = 3 · 37 · 487
54523 = 7 · 7789
54991 = 127 · 433
55461 = 3 · 7 · 19 · 139
55933 = 55933
56407 = 13 · 4339
56883 = 3 · 67 · 283
57361 = 19 · 3019
57841 = 7 · 8263
58323 = 3 · 19441
58807 = 7 · 31 · 271
59293 = 13 · 4561
59781 = 3 · 19927
60271 = 60271
60763 = 60763
61257 = 3 · 7 · 2917
61753 = 37 · 1669
62251 = 7 · 8893
62751 = 3 · 13 · 1609
63253 = 43 · 1471
63757 = 103 · 619
64263 = 3 · 31 · 691
64771 = 7 · 19 · 487
65281 = 97 · 673
65793 = 3 · 7 · 13 · 241
66307 = 61 · 1087
66823 = 19 · 3517
67341 = 3 · 22447
67861 = 79 · 859
68383 = 7 · 9769
68907 = 3 · 103 · 223
69433 = 7^2 · 13 · 109
69961 = 43 · 1627
70491 = 3 · 23497
71023 = 71023
71557 = 163 · 439
72093 = 3 · 7 · 3433
72631 = 13 · 37 · 151
73171 = 7 · 10453
73713 = 3 · 24571
74257 = 74257
74803 = 19 · 31 · 127
75351 = 3 · 25117
75901 = 7^2 · 1549
76453 = 13 · 5881
77007 = 3 · 7 · 19 · 193
77563 = 77563
78121 = 78121
78681 = 3 · 26227
79243 = 109 · 727
79807 = 7 · 13 · 877
80373 = 3 · 73 · 367
80941 = 7 · 31 · 373
81511 = 37 · 2203
82083 = 3 · 27361
82657 = 82657
83233 = 83233
83811 = 3 · 7 · 13 · 307
84391 = 84391
84973 = 7 · 61 · 199
85557 = 3 · 19^2 · 79
86143 = 86143
86731 = 43 · 2017
87321 = 3 · 13 · 2239
87913 = 7 · 19 · 661
88507 = 67 · 1321
89103 = 3 · 7 · 4243
89701 = 271 · 331
90301 = 73 · 1237
90903 = 3 · 157 · 193
91507 = 13 · 7039
92113 = 7 · 13159
92721 = 3 · 31 · 997
93331 = 7 · 67 · 199
93943 = 37 · 2539
94557 = 3 · 43 · 733
95173 = 13 · 7321
95791 = 95791
96411 = 3 · 7 · 4591
97033 = 19 · 5107
97657 = 7^2 · 1993
98283 = 3 · 181^2
98911 = 98911
99541 = 13^2 · 19 · 31
100173 = 3 · 33391
100807 = 7 · 14401
101443 = 61 · 1663
102081 = 3 · 7 · 4861
102721 = 139 · 739
103363 = 13 · 7951
104007 = 3 · 37 · 937
104653 = 229 · 457
105301 = 7^3 · 307
105951 = 3 · 35317
106603 = 7 · 97 · 157
107257 = 283 · 379
107913 = 3 · 13 · 2767
108571 = 108571
109231 = 19 · 5749
109893 = 3 · 7 · 5233
110557 = 110557
111223 = 7 · 15889
111891 = 3 · 13 · 19 · 151
112561 = 31 · 3631
113233 = 113233
113907 = 3 · 43 · 883
114583 = 7 · 16369
115261 = 79 · 1459
115941 = 3 · 7 · 5521
116623 = 13 · 8971
117307 = 117307
117993 = 3 · 37 · 1063
118681 = 118681
119371 = 7 · 17053
120063 = 3 · 31 · 1291
120757 = 7 · 13 · 1327
121453 = 121453
122151 = 3 · 19 · 2143
122851 = 43 · 2857
123553 = 123553
124257 = 3 · 7 · 61 · 97
124963 = 19 · 6577
125671 = 7 · 13 · 1381
126381 = 3 · 103 · 409
127093 = 73 · 1741
127807 = 127807
128523 = 3 · 42841
129241 = 7 · 37 · 499
129961 = 13^2 · 769
130683 = 3 · 7^3 · 127
131407 = 331 · 397
132133 = 229 · 577
132861 = 3 · 67 · 661
133591 = 103 · 1297
134323 = 7 · 31 · 619
135057 = 3 · 13 · 3463
135793 = 7 · 19 · 1021
136531 = 136531
137271 = 3 · 45757
138013 = 79 · 1747
138757 = 19 · 67 · 109
139503 = 3 · 7^2 · 13 · 73
140251 = 139 · 1009
141001 = 7 · 20143
141753 = 3 · 47251
142507 = 31 · 4597
143263 = 143263
144021 = 3 · 61 · 787
144781 = 7 · 13 · 37 · 43
145543 = 145543
146307 = 3 · 7 · 6967
147073 = 147073
147841 = 163 · 907
148611 = 3 · 49537
149383 = 13 · 11491
150157 = 7 · 19 · 1129
150933 = 3 · 50311
151711 = 7 · 21673
152491 = 109 · 1399
153273 = 3 · 19 · 2689
154057 = 154057
154843 = 13 · 43 · 277
155631 = 3 · 7 · 7411
156421 = 156421
157213 = 7 · 37 · 607
158007 = 3 · 31 · 1699
158803 = 158803
159601 = 13 · 12277
160401 = 3 · 127 · 421
161203 = 7 · 23029
162007 = 162007
162813 = 3 · 7 · 7753
163621 = 163621
164431 = 164431
165243 = 3 · 13 · 19 · 223
166057 = 211 · 787
166873 = 7 · 31 · 769
167691 = 3 · 55897
168511 = 7^2 · 19 · 181
169333 = 313 · 541
170157 = 3 · 13 · 4363
170983 = 61 · 2803
171811 = 171811
172641 = 3 · 7 · 8221
173473 = 173473
174307 = 7 · 37 · 673
175143 = 3 · 79 · 739
175981 = 13 · 13537
176821 = 151 · 1171
177663 = 3 · 59221
178507 = 7^2 · 3643
179353 = 43^2 · 97
180201 = 3 · 7 · 8581
181051 = 13 · 19 · 733
181903 = 181903
182757 = 3 · 60919
183613 = 31 · 5923
184471 = 7 · 19^2 · 73
185331 = 3 · 163 · 379
186193 = 7 · 67 · 397
187057 = 13 · 14389
187923 = 3 · 37 · 1693
188791 = 188791
189661 = 189661
190533 = 3 · 7 · 43 · 211
191407 = 277 · 691
192283 = 7 · 13 · 2113
193161 = 3 · 31^2 · 67
194041 = 61 · 3181
194923 = 421 · 463
195807 = 3 · 65269
196693 = 7 · 28099
197581 = 19 · 10399
198471 = 3 · 7 · 13 · 727
199363 = 73 · 2731
200257 = 200257
201153 = 3 · 19 · 3529
202051 = 97 · 2083
202951 = 7 · 79 · 367
203853 = 3 · 13 · 5227
204757 = 7 · 29251
205663 = 205663
206571 = 3 · 37 · 1861
207481 = 207481
208393 = 208393
209307 = 3 · 7 · 9967
210223 = 13 · 103 · 157
211141 = 7^2 · 31 · 139
212061 = 3 · 70687
212983 = 373 · 571
213907 = 409 · 523
214833 = 3 · 19 · 3769
215761 = 7 · 13 · 2371
216691 = 337 · 643
217623 = 3 · 7 · 43 · 241
218557 = 19 · 11503
219493 = 103 · 2131
220431 = 3 · 73477
221371 = 31 · 37 · 193
222313 = 7^2 · 13 · 349
223257 = 3 · 74419
224203 = 7 · 32029
225151 = 61 · 3691
226101 = 3 · 75367
227053 = 227053
228007 = 13 · 17539
228963 = 3 · 7 · 10903
229921 = 43 · 5347
230881 = 7 · 32983
231843 = 3 · 109 · 709
232807 = 19 · 12253
233773 = 157 · 1489
234741 = 3 · 13^2 · 463
235711 = 7 · 151 · 223
236683 = 19 · 12457
237657 = 3 · 7 · 11317
238633 = 127 · 1879
239611 = 239611
240591 = 3 · 13 · 31 · 199
241573 = 37 · 6529
242557 = 7 · 34651
243543 = 3 · 81181
244531 = 7 · 181 · 193
245521 = 245521
246513 = 3 · 82171
247507 = 13 · 79 · 241
248503 = 67 · 3709
249501 = 3 · 7 · 109^2
250501 = 250501
|
Tomamos los primos de la forma \(2·3·r+1\) que
son menores de 100 (por poner un límite):
7, 13, 19, 31, 37, 43, 61, 67, 73, 79, 97
Y vamos a estudiar con qué frecuencia aparecen en el
listado anterior. Tenemos:
7, aparece en las posiciones 2 y 4 y se tiene 2 + 4 = 6 = 7-1
13, aparece en las posiciones 3 y 9 y se tiene 3 + 9 = 12= 13
- 1
19, aparece en las posiciones 7 y 11 y se tiene 7+ 11 = 18 =
19 - 1
31, aparece en las posiciones 5 y 25 y se tiene 5 + 25 = 30
= 31 - 1
37, aparece en las posiciones 10 y 26 y se tiene 10 + 26 = 36
= 37 - 1
43, aparece en las posiciones 6 y 36 y se tiene 6 + 36 = 42
= 43 - 1
61, aparece en las posiciones 13 y 47 y se tiene 13 + 47 = 60
= 61 - 1
67, aparece en las posiciones 29 y 37 y se tiene 29 + 37 = 66
= 67 - 1
73, aparece en las posiciones 8 y 64 y se tiene 8 + 64 = 72
= 73 - 1
79, aparece en las posiciones 23 y 55 y se tiene 23 + 55 = 78
= 79 - 1
97, aparece en las posiciones 35 y 61 y se tiene 35 + 61 = 96
= 97 – 1
Conociendo esto, las posiciones del factor 7, y de modo semejante,
todos los demás, son:
\( \displaystyle 2 + 7*r\qquad y \qquad 4 + 7*r\)
Observamos que para todos números se cumple que están
en 2 posiciones y que la suma de esas dos posiciones es igual
(p-1), siendo p el número en cuestión.
Planteamos aquí la siguiente hipótesis:
Siendo q un número primo de la forma (*) en cualquier
sucesión formada a partir de la expresión:
\( \displaystyle a^3 + b^3 \)
Encontraremos al factor q 2 veces en las posiciones k y [(q-1)
– k]
Veamos ahora a estudiar con qué frecuencia aparecen en
el listado siguiente,
\( \displaystyle \frac{n^3+(n-1)^3}{2*n-1} \)
Tenemos:
7, aparece en las posiciones 3 y 5 y se tiene 3 + 5 = 8 = 7+1
13, aparece en las posiciones 4 y 10 y se tiene 4 + 10 = 14=
13 + 1
19, aparece en las posiciones 8 y 12 y se tiene 8+ 12 = 20 =
19 + 1
31, aparece en las posiciones 6 y 26 y se tiene 6 + 26 = 32
= 31 + 1
37, aparece en las posiciones 11 y 27 y se tiene 11 + 27 = 38
= 37 + 1
43, aparece en las posiciones 7 y 37 y se tiene 7 + 37 = 44
= 43 + 1
61, aparece en las posiciones 14 y 48 y se tiene 14 + 48 = 62
= 61 + 1
67, aparece en las posiciones 30 y 38 y se tiene 30 + 38 = 68
= 67 + 1
73, aparece en las posiciones 9 y 65 y se tiene 9 + 65 = 74
= 73 +1
79, aparece en las posiciones 24 y 56 y se tiene 24 + 56 = 80
= 79 + 1
97, aparece en las posiciones 36 y 62 y se tiene 36 + 62 = 98
= 97 + 1
Veamos, en fin, a estudiar con qué frecuencia aparecen
en el listado siguiente,
\( \displaystyle \frac{(n+1)^3+(n-1)^3}{2*n} \)
Tenemos:
7, aparece en las posiciones 2 y 5 y se tiene 2 + 5 = 7
13, aparece en las posiciones 6 y 7 y se tiene 6 + 7 = 13
19, aparece en las posiciones 4 y 15 y se tiene 4 + 15 = 19
31, aparece en las posiciones 11 y 20 y se tiene 11 + 20 = 31
37, aparece en las posiciones 16 y 21 y se tiene 16 + 21 = 37
43, aparece en las posiciones 13 y 30 y se tiene 13 + 30 = 43
61, aparece en las posiciones 27 y 34 y se tiene 27 + 34 = 61
67, aparece en las posiciones 8 y 59 y se tiene 8 + 59 = 67
73, aparece en las posiciones 17 y 56 y se tiene 17 + 56 = 73
79, aparece en las posiciones 32 y 47 y se tiene 32 + 47 = 79
97, aparece en las posiciones 26 y 71 y se tiene 26 + 71 = 97
Tomamos los primos de la forma 2·r·5+1 que son
menores de 100 (por seguir la tradición):
11, 31, 41, 61, 71
Y vamos a estudiar con qué frecuencia aparecen en las
expresiones anteriores.
\( \displaystyle \frac{n^5 -1}{(n-1)}\quad ;\quad \frac{n^5+(n-1)^5}{2*n-1}\quad
; \quad \frac{(n+1)^5 + (n-1)^5}{2*n} \)
Tenemos, para el primero:
11 aparece en las posiciones 3, 4, 5, 9
31 aparece en las posiciones 2, 4, 8, 16
41 aparece en las posiciones 10, 16, 18, 37
61 aparece en las posiciones 9, 20, 34, 58
71 aparece en las posiciones 5, 25, 54, 57
Tenemos, para el segundo:
11 aparece en las posiciones 2, 3, 9, 10
31 aparece en las posiciones 7, 11, 21, 25
41 aparece en las posiciones 13, 15, 27, 29
61 aparece en las posiciones 7, 30, 32, 55
71 aparece en las posiciones 12, 31, 41, 60
Y tenemos, para el tercero:
11 aparece en las posiciones 3, 5, 6, 8
31 aparece en las posiciones 10, 13, 18, 21
41 aparece en las posiciones 12, 16, 25, 29
61 aparece en las posiciones 2, 13, 48, 59
71 aparece en las posiciones 10, 23, 48, 61
Probemos ahora la expresión:
\( \displaystyle \frac{(n+1)^p + (n-1)^p}{2*n} \)
Con los primos de Germain 23 y 29. Tenemos, por tanto que 47
y 59 y aplicando sobre los naturales, resulta para el primer
grupo:
4, 6, 9, 10, 11, 16, 18, 19, 20, 22, 23, 24, 25, 27, 28, 29,
31, 36, 37, 38, 41, 43
Y se tiene:
4 + 43 = 47… 23 + 24 = 47
Y para el segundo:
3, 5, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 22, 23, 24, 25, 29, 30, 34,
35, 36, 37, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 49, 54, 56
Y se tiene:
3 + 56 = 59… 29 + 30 = 59
Podemos plantear aquí, la siguiente hipótesis:
Siendo p un primo de Germain, se cumple que:
\( \displaystyle \frac{(n+1)^p + (n-1)^p}{2*n} \)
Es múltiplo de p y de 2*p+1
Probamos ahora con la expresión:
\( \displaystyle \frac{(n+1)^{13} + (n-1)^{13}}{2*n} \)
Los 4 primeros primos de la forma 2·r·13+1 son 53,
79, 131 y 157.
Dando valores a n, podemos ver que se tiene:
El primo 53 se encuentra en las posiciones 4, 12, 16, 19,
20, 21 y 32, 33 34, 37, 41, 49.
El primo 79 se encuentra en las posiciones 5, 6, 8, 11, 30 y
44, 49, 68, 71, 73, 74.
El primo 131 se encuentra en las posiciones 16, 22, 28, 46,
56, 58 y 73, 75, 85, 103, 109, 115.
El primo 157 se encuentra en las posiciones 11, 21, 41, 54,
61, 73 y 84, 96, 103, 116, 136, 146.
Pero si ponemos:
\( \displaystyle \frac{(n+s)^{13} + (n-s)^{13}}{2*n} \)
Donde s= 53, 79, 131, 157, resulta que ya no se cumple lo dicho
en los párrafos anteriores, pues, por ejemplo, para 53,
tenemos:
\( \displaystyle \frac{(n+s)^{13} + (n-s)^{13}}{2*n} = \frac{(53+53)^{13}}{2*53}= (2·53)^{12} \)
Y para los demás un resultado semejante.
Como resultado final de este trabajo podemos enunciar el siguiente
teorema sin demostrar:
TEOREMA
Sea \( f(n) \):
\( \displaystyle f(n) = \frac{n^p -1}{n-1} \)
El término n-ésimo de una sucesión , y sea
\( q \) un factor primo extraido de dicha expresión, entonces
\( q \) divide exactamente a \( (p-1) \) términos de dicha
sucesión entre 1 y \( q \)