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MONOGRAFIAS MATEMÁTICAS ~ SISTEMAS ESTOCASTICOS

TEORIA DE LA PROBABILIDAD

TEOREMA DE SEPARACIÓN

Principio de equivalencia certidumbre.- Dado un sistema estocástico:
    \(\begin{array}{cc}
    x(k+1) = f_k[x(k), u(k), v(k)]\;; \; k=0,1,...,N-1 & (142) \\
     &  \\
    y(k) = g_k[x(k), w(k)]\;; \; k=0,1,...,N-1 & (143)
    \end{array} \)
siendo x(k) el estado del sistema, u(k) el control, y(k) la salida, v(k) el ruido en el sistema y w(k) el ruido do medida, y un criterio a minimizar:
    \( \displaystyle E\left\{L[x(k), u(k)]\right\}\quad , con L(\varepsilon) \geq 0 ,\:\forall \:\varepsilon \neq 0 , L(0)= 0\quad (144) \)
decimos que el problema de controlar el sistema (142), (143) a fin de minimizar (144) verifica el principio de equivalencia certidumbre si el control óptimo estocástico se obtiene reemplazando x(k) en la solución:
    \( \displaystyle u^*(k) = \phi[x(k)]\qquad\qquad (145) \)
del problema determinista de minimización de
    \( L[x(k), u(k)]\qquad\qquad (146) \)
para la mejor estimación de x(k) en el instante k (denotada x(k|k)) es decir, si el control óptimo estocástico es de la forma :
    \( \displaystyle u^*(k) = \phi[x(k|k)]\qquad\qquad (147) \)

y \( \phi(·) \) está calculado como si v(k) = w(k) = 0.

Teorema de separación.-

Dado el sistema estocástico (142), (143) y el criterio a minimizar (l44), se dice que el problema de control óptimo estocástico verifica el teorema de separación si el control óptimo estocástico \( u^*(k) \) es de la forma:

    \( u^*(k) = \psi[\hat{x}(k|k)]\qquad\qquad (148) \)
donde \( \hat{x}(k|k) \) es la estimación óptima de x(k) a partir de medidas y(i) sobre el intervalo \( 0\leq i \leq k , \; y \; \psi \), es la solución del problema de minimización de (144).
Cuando (143), (144) es un sistema lineal con parámetros constantes y v(k) y w(k) son dos ruidos blancos gaussianos, se demuestra que el principio de equivalencia certidumbre y el teorema de separación son estrictamente equivalentes si bien, en general, esto no es cierto. El principio de equivalencia certidumbre es más fuerte que el teorema de separación.
Control neutral. Control prudente y control dual.- En el caso de sistemas lineales con parámetros constantes y en presencia de perturbaciones gaussianas, el teorema de separación conduce a la estrategia óptima do control y los resultados obtenidos por este método no pueden ser mejorados por otra estrategia.
En los problemas de control estocástico de sistemas no lineales o en los problemas de control adaptativo en un entorno estocástico, el problema de la estrategia óptima de control es sensiblemente más complejo. En algunos casos - puede aplicarse rigurosamente el teorema de separación (o el principio de equivalencia certidumbre), pero en otras aplicaciones (en particular, sistemas - adaptativos con modelo de regulador autoajustable con varianza mínima), su utilización como estrategia de control garantiza únicamente la convergencia - asintótica con probabilidad 1 hacia un control estocástico óptimo.
Asi pues, en aquellas situaciones en las que se utilice el teorema de separación ha de hacerse planteando les fundamentos teóricos que autoricen esta utilización.
En el caso de sistemas no lineales o sistemas adaptativos, puede existir otra estrategia de control mejor que la derivada mediante el teorema de separación. Este serla el caso de una estrategia que tuviera en cuenta la estadística del error de estimación en el cálculo del control o el efecto de éste sobre la mejora de la estimación.
Las leyes de control que solo consideran el criterio de optimización sin tener en cuenta la posibilidad de mejorar simultáneamente la estimación son llamadas leyes de control neutral. En el caso de sistemas lineales, la ley de control óptimo es de tipo neutral.
Las leyes de control que permiten al mismo tiempo la mejora de la estimación y del criterio de optimización se conocen como leyes de control duales y en ellas el control actúa simultáneamente sobre la mejora de la estimación y Sobre la minimización del criterio calculado a partir de dicha estimación. Fue Feldbamm en 1960 quien introdujo los principios del control dual y a le largo de estos años se ha visto que las estrategias óptimas basadas en ellos son extremadamente complejas e inaplicables en la práctica por lo que se han desarrollado las llamadas estrategias de control dual sub-óptimo.
Las leyes de control neutral que tienen en cuenta el hecho de que se utilizan para el control de variables estimadas y no para el de variables reales, en la ponderación del control efectivo aplicado, son llamadas leyes de control prudentes. En principie, esta estrategia es interesante, pero en la práctica conduce frecuentemente a fenómenos de interrupción (turn-off) que hacen que el nivel efectivo de excitación del sistema sea muy débil y, por tanto, aumente el error de estimación.

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Página publicada por: José Antonio Hervás