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MONOGRAFIAS MATEMÁTICAS ~ SISTEMAS ESTOCASTICOS

TEORIA DE LA PROBABILIDAD

CONTROL ESTOCÁSTICO

La teoría del control estocástico estudia el control de sistemas dinámicos sujetos a perturbaciones descritas como estados de procesos estocásticos.
El desarrollo completo de la teoría de control estocástico debe dar solución a los siguientes problemas:
Deducción de las propiedades estocásticas de variables de sistemas dinámicos sujetos a perturbaciones estocásticas (esto es, descritos por procesos estocásticos). Eh el caso general, las variables del sistema dinámico serán suma de una función determinista y un proceso estocástico.
Optimización de los parámetros de un sistema con una estructura predeterminada por un método determinista pero basado en un desarrollo estocástico, es decir, sujeto a perturbaciones modelizadas por procesos estocásticos.
Control óptimo de un sistema dinámico en un entorno estocástico y sujeto a un índice de comportamiento dado (por ejemplo minimización del valor - esperado de una forma cuadrática como la considerada en procesos deterministas).
El resultado principal de la teoría de control óptimo estocástico (lineal) es el teorema de separación que nos dice que el control óptimo en presencia de perturbaciones se obtiene en dos etapas:

    1) Estimación óptima del estado del sistema en presencia de perturbaciones.

    2) Realimentación del estado estimado a la entrada del sistema a controlar, a través de un bloque de control, como si el sistema funcionara en un entorno determinista (sin perturbación) y el estado fuera medido exactamente.
El teorema de separación se conoce también con el nombre de principio de equivalencia certidumbre en el caso del siguiente problema:
Sea un conjunto de medidas y(k), k = 1,..., N-1, donde:
    \( y(k) = D(k)·x(k) + w(k)\qquad (115) \)
y un modelo de sistema dinámico a controlar :
    \( x(k+1) = \phi(k)·x(k) + B(k)·u(k) + v(k)\qquad (116) \)
con:
    \( \displaystyle \begin{array}{ll}
    E[v(k)] = E[w(k)] = E[x(0)] = 0 & \quad (117) \\
     &  \\
    E\left[\left(
    \begin{array}{c}
    w(i) \\
    v(i) \\
    \end{array}
    \right)\left(w^T(j)\quad v^T(j)\right)
    \right] = \left(
    \begin{array}{cc}
    W(i) & 0 \\
    0 & V(i) \\
    \end{array}
    \right)\delta(i-j)
    & \quad (118) \\
     &  \\
    E[x(0) \quad x^T(0)] = X_o\quad;\quad E[x(0) \quad v^T(i)] = 0 & (119)
    \end{array} \)
El problema de control óptimo será encontrar una ley de control causal que minimice el funcional:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} J = E\left\{\frac{1}{2}x^T(N)·S(N)·x(N) +\right. \\  \\ +\left. \frac{1}{2}\sum_{k=1}^{N-1}[x^T(k)\quad u^T(k)]\left( \begin{array}{cc} Q(k) & 0 \\ 0 & P(k) \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} x(k) \\ u(k) \\ \end{array} \right)\right\}\qquad (120) \end{array} \)
Para resolver este problema consideramos el error de estimación del sistema dado por:
    \(\tilde{x}(k) = x(k) - \hat{x}(k)\qquad (121) \)
para el que se cumple la ecuación:
    \( \tilde{x}(k+1) = [\phi(k) - M(k)·D(k)]\tilde{x}(k) + \tilde{v}(k)\qquad (122) \)
en la que:
    \( \widetilde{V}(k) = v(k) - M(k)·w(k)\qquad (123) \)
es un ruido blanco gaussiano, y donde M(k) es la matriz de ganancia óptima dada por la ecuación (93).
La ecuación (120) puede simplificarse introduciendo en ella la (121) ya que como demostramos a continuación, la estimación óptima, \( \hat{x}(k) \), y el error de estimación, \( \tilde{x}(k) \), son ortogonales. Tenemos que la salida del sistema en el caso óptimo puede escribirse:
    \( \hat{y}(k) = D(k)·\hat{x}(k) \qquad (124) \)
y en otra situación cualquiera:
    \( y(k) = \hat{y}(k) + \tilde{y}(k)\qquad (125) \)
donde \( \tilde{y}(k) \) es una secuencia de innovación que tiene características de ruido blanco gaussiano:
    \( \tilde{y}(k)= D(k)·\hat{x}(k) + w(k)\qquad (126) \)
Teniendo en cuenta las ecuaciones (115) y (124), podemos escribir la (125) en la forma:
    \( D(k)·x(k) + w(k) = D(k)·\tilde{x}(k) + \tilde{y}(k) \qquad (127) \)
y tomando covarianzas entre \( y(k) \; e \; y^T(k) \) :
    \( \begin{array}{l}
    Cov[y(k) \quad y^T(k)] = D(k)·Cov [x(k) \quad x^T(k)]D^T(k) + W = \\
     \\
    = D(k)· Cov [\hat{x}(k) \quad \hat{x}^T(k)]D^T(k) + Cov[\tilde{y}(k) \; \; \tilde{y}^T(k)]
    \end{array} \)
pero, de (126):
    \( Cov[\tilde{y}(k) \quad \tilde{y}^T(k)] = D(k)·Cov [\tilde{x}(k) \quad \tilde{x}^T(k)]D^T(k) + W\qquad (128) \)
por lo cual :
    \( \begin{array}{l}
    D(k)·Cov [x(k) \quad x^T(k)]D^T(k) = D(k)·Cov [\hat{x}(k) \quad \hat{x}^T(k)]D^T(k) \\
     \\
    \qquad\qquad D(k)·Cov [\tilde{x}(k) \quad \tilde{x}^T(k)]D^T(k)
    \end{array} \)
de donde se tiene :
    \( Cov [x(k) \quad x^T(k)] = Cov [\hat{x}(k) \quad \hat{x}^T(k)]+Cov [\tilde{x}(k) \quad \tilde{x}^T(k)] \quad(129) \)
y puesto que estamos considerando matrices cuadradas:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    tr\left\{Cov [x(k) \quad x^T(k)]\right\} = \\
     \\
    = tr\left\{Cov [\hat{x}(k) \quad \hat{x}^T(k)]\right\}+tr\left\{Cov [\tilde{x}(k) \quad \tilde{x}^T(k)]\right\}
    \end{array}\)
Por otra parte, para cualquier par de vectores \( v_1, v_2 \), se cumple:
    \( traza(v_1·v_2^T) = v_1^T·v_2\qquad\qquad (130)\)
con lo que tendremos:
    \(Cov [x^T(k) \quad x(k)] = Cov [\hat{x}^T(k) \quad \hat{x}(k)]+Cov [\tilde{x}^T(k) \quad \tilde{x}(k)] \quad(131) \)
EI espacio de probabilidad de las funciones m-variables es un espacio vectorial de dimensión m al que podemos dotar de estructura de espacio prehilbertiano definiendo el producto interno:
    \( (x,y) = Cov(x^T·y)\qquad\qquad (132) \)
y su norma asociada:
    \( \|x\|^2 = Cov(x^T·y)\qquad\qquad (133) \)
Con ello, la ecuación (131) puede escribirse:
    \( \|x(k)\|^2 = \|\hat{x}(k)\|^2 + \|\tilde{x}(k)\|^2\qquad\qquad (134)
    \)
pero, en términos de las propiedades de un espacio prehilbertiano esta ecuación define la ortogonalidad de \( \hat{x}(k)\; y\; \tilde{x}(k) \) relacionados por (121).
Así pues, utilizando (121) y teniendo en cuenta (134), el criterio (120) puede escribirse como:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} J = E\left\{\frac{1}{2}\hat{x}^T(N)·S(N)·\hat{x}(N) +\right. \\  \\ +\left. \frac{1}{2}\sum_{k=1}^{N-1}[\hat{x}^T(k)\quad u^T(k)]\left( \begin{array}{cc} Q(k) & 0 \\ 0 & P(k) \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} \hat{x}(k) \\ u(k) \\ \end{array} \right)\right\}\; (135) \end{array} \)
donde \( \hat{x}(k) \) viene regido por la ecuación:
    \( \hat{x}(k+1) = \phi(k)·\hat{x}(k) + B(k)·u(k) + W(k)·\tilde{y}(k)\; (136) \)
oon M(k) dado por (93) o \( \tilde{y}(k) \) dado por (125).
La conclusión que podemos extraer de lo expuesto es que el sistema (115), (116) junto con el criterio (120) verifica el teorema de separación. El problema planteado quedará resuelto si obtenemos el control u(k) que minimice (l35). Pero en este caso tenemos un problema de control óptimo de un sistema lineal perturbado por un ruido blanco cuyo estado es accesible. Para determinar el control óptimo, u(k), que minimice (135), consideramos el siguiente lema:
Sea la ecuación en diferencias tipo Ricatti:
    \( \begin{array}{c}
    M(k) = \phi^T·M(k+1)·\phi + S - \phi^T·M(k+1)· \\
     \\
    ·B[P+B^T·M(k+1)B]^{-1}B^TM(k+1)\phi
    \end{array} \)
con la condición inicial:
    \( M(k) = S\)
y que tiene una solución definida positiva \( \forall \;0\leq k\leq N \). Entonces el criterio J dado por (135) se escribe:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    J = E\left\{\frac{1}{2}\hat{x}^TS·\hat{x}(N) + \frac{1}{2}\|T(k)[u(k) + L(k)·x(k)]\|^2 + \right. \\
     \\
    \sum_{k=1}^{N-1}\left[v^T(k)·M(k+1)[\phi·x(k) + B·u(k)]\right.+ \\
    \\\left.\left.+ \frac{1}{2}v^T(k)·M(k+1)·v(k)\right]\right\}\qquad(137)
    \end{array}\)
siendo T(k) y L(k) matrices definidas por :
    \( \displaystyle \begin{array}{cc}
    T^T(k)·T(k) = P + B^TM(k+1)·P & \; (138) \\
     &  \\
    L(k) = \left[P + B^T·M(k+1)·B\right]^{-1}·B^T·M(k+1)·\phi & \; (139)
    \end{array} \)
Desarrollando la expresión (137) tenemos:
    \( \displaystyle \begin{array}{ll}
    J = E\left\{\frac{1}{2}·\hat{x}^T(N)·S·\hat{x}(N)\right\} +\\ \\+ \left\{\frac{1}{2}\|T(k)[u(k)+L(k)·\hat{x}(k)]\|^2 +\right\} &  \\
     &  \\
    + E\left\{\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{N-1}v^T(k)·M(k+1)·v(k)\right\} \; (140)&
    \end{array} \)
ya que los otros términos desaparecen por ser v(k) un ruido blanco.
El valor mínimo de (140) es:
    \( \displaystyle\begin{array}{l}
    \min J = E\left\{\frac{1}{2}·\hat{x}^T(N)·S·\hat{x}(N)\right\} + \\
     \\
    + E\left\{\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{N-1}v^T(k)·M(k+1)·v(k)\right\}
    \end{array} \)
y resulta para:
    \( u^*(k) = -L(k)·\hat{x}(k)\qquad\qquad (141) \)
cen L(k) dado por la ecuación (l39).
De lo anterior podemos sacar varias conclusiones:
    1) En un sistema estocástico con medida exacta del vector de estado x(k), el control óptimo estocástico tiene la misma estructura que el control óptimo determinista,

    2) En un sistema estocástico se verifica:

      \( \displaystyle \lim_{k\rightarrow\infty}\left(\min E[J]\right) = \infty \)
    mientras que en un sistema determinista :

      \( \displaystyle \lim_{k\rightarrow\infty}\left(\min J\right) = Cte \)

    Por lo que podemos decir que la perturbación estocástica v(k) degrada las realizaciones del sistema (incrementa el valor del índice de funcionamiento en si mismo).
    3) El sistema estocástico (116) y el índice de funcionamiento (120) verifican el principio de equivalencia certidumbre ya que el control óptimo os el mismo que el calculado para el caso determinista en el que se reemplaza la variable determinista x(k) por la mejor estimación de la variable aleatoria x(k) que en este caso es la propia variable aleatoria.
TEOREMA DE SEPARACIÓN
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Página publicada por: José Antonio Hervás