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MONOGRAFIAS MATEMÁTICAS ~ SISTEMAS ESTOCASTICOS

TEORIA DE LA PROBABILIDAD

FILTRADO ESTOCASTICO

Un problema de considerable complejidad que es necesario resolver en relación con la medida de diversos fenómenos físicos, se presenta cuando se trata de determinar a partir de un conjunto de medidas \( a_i \) , de una magnitud x , el valor más significativo de otra magnitud y relacionada con la primera por medio de una expresión.
Las llamadas técnicas del filtrado estocástico resuelven este problema práctico del que caben distinguir dos apartados en el campo del control de procesos:
Estimación de estados.- Con esta técnica se pretende estimar los valores que toma el vector de estados x (inaccesible) a partir de las medidas de la señal de salida del sistema.

Estimación de parámetros.- Con la aplicación de esta técnica se trata de obtener una medida cuantitativa de los parámetros que caracterizan al modelo matemático de un sistema, cuando la estructura de este modelo es conocida y haciendo uso de los datos del sistema real.
Como puede apreciarse, ambos problemas tienen las características ya apuntadas, es decir, que se trata de estimar los valores que toma una cierta magnitud a partir de las mediciones de otra relacionada con la primera por medio de una expresión conocida.
El problema de filtrado estocástico depende de varios factores que enumeramos a continuación:
El criterio de bondad elegido para la estimación, que suele ser la minimización del error cuadrático medio.
La relación funcional que liga la magnitud medida con la que se pretende estimar. Esta relación será en general no lineal.
Desde un punto de vista práctico para la ejecución del algoritmo del filtrado es de sumo interés dotar a éste de carácter recurrente.
Eh realidad, la estimación de parámetros puede tratarse como un caso particular de la estimación de estados, para ello basta con considerar les parámetros como nuevos estados ampliando la dimensión del vector de estados. En consecuencia, en lo que sigue, nos centraremos fundamentalmente en el problema de la estimación de estados. De ese modo, en su aspecto más general, un sistema dinámico vendrá descrito por el par de ecuaciones:

    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \dot{x} = f()x,u,\alpha,v,t)\qquad\qquad (68) \\
     \\
    y = g(x,u,w,t) \qquad\qquad (69)
    \end{array} \)
donde \( \alpha \) es un vector de parámetros desconocido. Si este vector puede considerarse constante,
    \( \dot{\alpha} = 0\qquad\qquad (70) \)
la ecuación de estado del proceso toma la forma :
    \( \left(
    \begin{array}{c}
    \dot{x} \\
    \dot{\alpha} \\
    \end{array}
    \right) = \left(
    \begin{array}{c}
    f(x,u,\alpha,v,t) \\
    0 \\
    \end{array}
    \right)\qquad (71) \)
Pero, aun en el caso de que la dinámica del proceso sea lineal, no podemos escribir esta ecuación en la forma:
    \( \left(
    \begin{array}{l}
    \dot{x} \\
    \dot{\alpha} \\
    \end{array}
    \right) =M \left(
    \begin{array}{l}
    x \\
    \alpha\\
    \end{array}
    \right)\qquad (72) \)
donde M fuera una matriz no dependiente de x ni de \( \alpha \). En consecuencia, y como puede apreciarse en el ejemplo que desarrollamos a continuación, incluso para sistemas lineales, el problema de estimación combinada de parámetros y estados es un problema no lineal en el vector de estado ampliado \( (x,\alpha)^T\)
EJEMPLO.- Sea un sistema lineal de la forma:
    \( \dot{x} = \alpha·x + u \quad ; \quad \dot{\alpha} = 0 \)
para el que queremos resolver el problema de la identificación conjunta del parámetro \( \alpha \) y del estado x.
Si hacemos:
    \(z_1 = x\quad ; \quad z_2 = \alpha \)
Tendríamos:
    \( z = \left(
    \begin{array}{c}
    x \\
    \alpha \\
    \end{array}
    \right) \)
con lo cual resultaría :
    \( \begin{array}{c}
    \dot{z}_1 = z_1·z_2 + u \\
     \\
    \dot{z}_2 = 0
    \end{array}\qquad \dot{z} = f(z,u) \)
que es un problema no lineal.
En la mayoría de los problemas que se presentan en la práctica el ruido de salida del sistema suele tener carácter aditivo. Así, por ejemplo, en sistemas discretos se suele cumplir:
    \( y(k) = g[x(k)] + w(k)\quad\quad (73) \)
con lo que resulta inmediatamente:
    \( p[y(k)|x(k)] = p[y(k)- g[x(k)]] = p[w(k)]\quad\quad (74) \)
es decir, que la función de probabilidad condicional es igual a la función de densidad de probabilidad del ruido, que se supone conocida. Cuando esta función es gaussiana (tipo ruido blanco) se obtienen expresiones relativamente fáciles de manejar.
Con todo lo visto, el problema general de la estimación puede abordarse matemáticamente desde tres puntos de vista:
    a) Estimación de mínimos cuadrados
    b) Estimación de probabilidad máxima
    c) Estimación de Bayes.
En todos los casos los métodos conducen a la minimización de una función de error con respecto a un vector x (discreto o continuo) en un intervalo determinado.
El método de estimación de mínimos cuadrados surge de un modo natural como sigue: elegimos la descripción del proceso mediante:
    \( \begin{array}{ll}
    x(k+1) = f[x(k),k] + C(k)·v(k) & \quad (75) \\
     &  \\
    y(k) = g[x(k), k] + w(k) & \quad(76)
    \end{array} \)
Si no tenemos conocimiento previo del proceso y disponemos del ruido de observación podemos definir:
    \( \begin{array}{ll}
    e_1 (k) = x^*(k+1) - f[x^*(k), k] & (77) \\
     &  \\
    e_2(k) = y(k) - g[x^*(k), k] & (78)
    \end{array} \)
donde \( x^*(k) \) sería la trayectoria cierta.
La función que elegiríamos para minimizar sería:
    \( \displaystyle J = \sum_{k=1}^{r}[e_1^T(k)·Q·e_1(k) + e_2^T(k)·P·e_2(k)] \)
donde las matrices de peso Q y P se escogen definidas no negativas a fin de que tenga sentido la minimización. De ese modo, el valor de x(k) que hiciera mínimo a J sería el estimado óptimo en el sentido de los mínimos cuadrados.
SI método de probabilidad máxima escoge el valor de un parámetro o de una variable que debe estimarse de forma tal que haga máxima una determina. La función de probabilidad. Esta función de probabilidad suele establecerse como la función de densidad considerada en función del parámetro o de la variable de estado que desea estimarse.
Finalmente, los estimados óptimos de Bayes son los estimados óptimos basados en las funciones de densidad de probabilidad condicionada, \( p(x_i\; y^i) \) , que se obtienen de funciones de densidad de probabilidad a priori utilizando la fórmula de Bayes.
ESTIMACION DINAMICA
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Página publicada por: José Antonio Hervás