Estás en > Matemáticas y Poesía > Matemáticas

MONOGRAFIAS MATEMÁTICAS ~ SISTEMAS ESTOCASTICOS

TEORIA DE LA PROBABILIDAD

SISTEMAS LINEALES CON PERTURBACIONES ESTOCASTICAS

El motivo principal de la exposición de los conceptos establecidos en los párrafos precedentes es poder analizar un sistema lineal sometido a perturbaciones estocásticas. Nuestro interés se centrará en la búsqueda de ecuaciones deterministas de los parámetros estadísticos asociados a las variables estocásticas del sistema.
Cuando un sistema lineal es excitado con señales de naturaleza estocástica, su función de transferencia puede calcularse determinando las funciones de autocorrelación de la entrada y la de correlación cruzada entre la entrada y la salida. Para el caso de un sistema multivariable excitado por una señal estocástica de la forma:
    \( v^T = (v_1, v_2 , ... , v_s)\)
todas las posibles funciones de correlación de las variables que constituyen v como la correspondiente a dos variables \( v_i(t) \; y \; v_j(t) \) se definen por :
    \( E[v_i(t) \; v_j(t)] = \sigma^2\qquad\qquad (62) \)
que es la llamada matriz de covarianzas.
Si las funciones temporales que componen v son estadísticamente independientes la matriz anterior será diagonal.
Podemos examinar como se comportan los sistemas lineales multivariables influenciados por señales estocásticas. Para ello consideremos el sistema lineal definido por:
    \( x(n+1) = A·x(n) + B·w(n)\qquad\qquad (63) \)
donde A es una matriz de transición nxn , B es una matriz nxm, x(n) es el vector de estado n-dimensional, y w(n) es un vector m-dimensional aleatorio que supondremos de media nula y covarianza Q.
Si suponemos que el estado inicial, x(1) y la secuencia de entrada son estadísticas ticamente independientes :
    \( E[x(1)\quad w^T(n)] = 0\qquad\qquad (64) \)
podemos obtener la ecuación de evolución de la matriz de covarianza del sistema, definida como :
    \( E[x(n)\quad x^T(n)] = X(n) \)
Para ello transponemos la ecuación (63):
    \(x^T(n+1) = x^T(n)·A^T + w^T(n)·B^T\qquad\qquad (65) \)
Y multiplicando esta ecuación por la izquierda con (63):
    \( \begin{array}{l}
    x(n+1)·x^T(n+1) =\\\\= A·x(n)·x^T(n)·A^T + B·w(n)·w^T(n)·B^T + \\ \\
    + B·w(n)·x^T(n)·A^T + A·x(n)·w^T(n)·B^T\quad (66)
    \end{array} \)
Tomando valores esperados en la ecuación (66) resulta:
    \( X(n+1) = A·X(n)·A^T + B·Q·B^T\qquad\qquad (67)\)
Ya que hemos supuesto el vector de entrada y el estado del sistema son estadísticamente independientes.
La expresión (67) se conoce como "la ecuación de covarianza lineal" y puede ser resuelta recursivamente si se conoce la covarianza de las condiciones iniciales.

FILTRADO ESTOCASTICO
Otros usuarios de Matemáticas y poesía también han visto:




Página publicada por: José Antonio Hervás