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MONOGRAFIAS MATEMÁTICAS ~ SISTEMAS ESTOCASTICOS

TEORIA DE LA PROBABILIDAD

DESCOMPOSICIÓN DE WOLD. PROCESOS ARMA

En el año 1938, H.O. Wold demostró que todo proceso estocástico débilmente estacionario de media cero, z(t), que no contenga componentes deterministas puede escribirse como una función lineal de variables aleatorias no correlacionadas \( e_k\), como:
    \( \displaystyle\begin{array}{l}
    \bar{z}(t) = \bar{z}_k(t) = e_k + \phi_1·e_{k-1} + ... = \\
     \\
    = \sum_{i=0}^{\infty} \phi_i·e_{k-i}\quad ( \phi_o = 1)\quad (46)
    \end{array} \)
Dónde se tiene:
    \( E[e_k] = 0 \:;\: Var (e_k)= \sigma^2 \: ;\: E[e_k, e_{k-i}] = 0 \: ,\; i>0 \)
Para facilitar el manejo de estos procesos se define el operador de retardo, \( q^{-1} \), mediante:
    \( \displaystyle q^{-1}·z_k = z_{k-1} \qquad ; \qquad q^{-i}·Z_k = z_{k-i} \)
Lo cual nos permite escribir:
    \( \bar{z}_k = \phi(q^{-1})e_k \qquad (47)\)
Siendo:
    \( \phi(q^{-1})= 1 + \phi_1q^{-1} + \phi_2q^{-2} + ... \)
Un polinomio indefinido en el operador de retardo. La ecuación (47) se denomina representación lineal general de un proceso estacionario no determinista.
Sí consideramos que \( z_k\) tiene una distribución normal, estacionaridad débil coincide con la estricta por lo que el proceso \( \{e_k\} \) es un ruido blanco.
Está claro que para el proceso definido por (47) sea estacionario, los coeficientes \( \phi_i \) tienen que verificar ciertas condiciones. Si tomamos varianzas en la ecuación (46) resulta:
    \( \displaystyle Var[z_k] = \sigma^2\sum_{i=0}^{\infty} \phi_i^2\qquad (48) \)
Y para que el proceso sea estacionario la serie \( \{\phi_i^2\} \) debe ser convergente.
Un caso particular de la representación de Wold son los llamados procesos autorregresivos (procesos AR) expresión general es de la forma:
    \(\bar{z}_k = \phi_1·\bar{z}_{k-1} + ... + \phi_p·\bar{z}_{k-p} + e_k\qquad\qquad (49) \)
Donde el subindice p señala el orden del proceso. Teniendo en cuenta el operador de retardos podemos escribir:
    \( \displaystyle \left(1 - \phi_1q^{-1} - \phi_2q^{-2} - ...- \phi_pq^{-p} \right)\bar{z}_k = e_k \qquad (50) \)
Por lo que los coeficientes, \( \psi_i \) , de la representación general se calcula mediante:
    \( \displaystyle\begin{array}{l}
    \phi_p(q^{-1})·[\phi_p(q^{-1})]^{-1} = 1 = \\
     \\
    = \left(1 + \psi_1q^{-1}+ ...\right)\left(1 - \phi_1q^{-1}- ...\right)
    \end{array} \)
E igualando coeficientes en \( q^{-1} \).
La condición de estacionaridad (48) implica que las raíces de la ecuación característica de un proceso AR, \( \phi_p(q^{-1})= 0\) deben estar fuera del círculo unidad.
Media móvil de orden r, MA(r), aquellos casos particulares del proceso lineal general en los que solo los r primeros coeficientes de la ecuación (47) son no nulos. Estos procesos verifican siempre la ecuación (48). Un proceso MA(r) tiene la representación general:
    \( \displaystyle \bar{z}_k = \left(1 - \theta_1·q^{-1 }- \theta_2q^{-2 }- ... - \theta_rq^{-r}\right)e_k \)
Que suele escribirse:
    \( \bar{z}_k = \theta_r(q^{-1})e_k\qquad\qquad (51) \)
El proceso será invertible sin las raíces de \( \theta_r(q^{-1})= 0\) son, en módulo, mayores que la unidad.
Los procesos AR y MA son aproximaciones al proceso lineal general \( MA(\infty) \) desde puntos de vista complementarios, un proceso AR tiene estructura \( MA(\infty)\) pero los coeficientes \( \psi_i \) deben verificar la condición reflejada en (48). Un proceso MA tiene un número finito de términos pero estos pueden tomar cualquier valor. Para intentar combinar las ventajas de los dos tipos de procesos y representar con pocos parámetros procesos cuyos primeros r coeficientes son arbitrarios y los restantes de crecen según alguna ley sencilla, se considera los procesos ARMA. La expresión general de un proceso ARMA(p,r) es de la forma:
    \( \begin{array}{l}
    \left(1 - \theta_1q^{-1} - ... - \theta_pq^{-p}\right)e_k = \\
     \\
    = \left(1 - \theta_1q^{-1} - ... - \theta_rq^{-r}\right)e_k
    \end{array}\)
O en forma compacta:
    \(\phi_p(q^{-1})\bar{z}_k = \theta_r(q^{-1})e_k \qquad\qquad (52) \)
Un proceso de este tipo será estacionario sin las raíces de \( \phi_p (q^{-1}) = 0 \) están fuera del círculo unidad, invertible si no están las de \(\theta_p (q^{-1}) = 0 \).

PROCESOS MARKOVIANOS
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Página publicada por: José Antonio Hervás