Estás en > Matemáticas y Poesía > Matemáticas

MONOGRAFIA MATEMÁTICAS

TEORÍA DE NÚMEROS

RISTRAS DE NÚMEROS PRIMOS
EN
PROGRESIONES ARITMÉTICAS

RESUMEN

Ya hemos trabajado en varios artículos sobre las ristras o cadenetas de los números primos gemelos (ver artículos sobre ristras de primos gemelos), por lo que ahora vamos a tratar sobre las ristras o cadenetas de números primos en progresiones aritméticas.

DESARROLLO

Los primeros que vamos a considerar son aquellos tales que siendo p primo también lo es p+4 y aquellos que siendo p también lo es p+6. Los primeros son los llamados números primos parientes. los diez primeros pares de ellos son
3 y 7 ; 7 y 11 ; 13 y 17 ; 19 y 23; 37 y 41; 43 y 47; 67 y 71; 79 y 83; 97 y 101 ; 109 y 113.

RISTRAS DE NÚMEROS PRIMOS PARIENTES

Son aquellas en que los números que las forman son parejas de dos números p y p+4 tales que ambos son números primos. Escribimos el número p, primero de la ristra.
donde empleamos como semillas los primos 13, 19 y 999979

    13
    313
    21313
    14421313
    12014421313
    16812014421313
    63616812014421313
    1263616812014421313
    1471263616812014421313
    10921471263616812014421313
    34810921471263616812014421313
    334810921471263616812014421313
    147334810921471263616812014421313
    1581147334810921471263616812014421313
    10081581147334810921471263616812014421313
    Para comprobar que en la ristra anterior todos los primos anteriores
    Son parientes, es decir se tiene en todos los casos que p y p+4 son ambos primos; así:

      13 + 4 = 17
      313 + 4 = 317
      21313 + 4 = 21317
      14421313 + 4 = 14421317
      12014421313 + 4 = 12014421317
      16812014421313 + 4 = 16812014421317
      63616812014421313 + 4 = 63616812014421317
      1263616812014421313 + 4 = 1263616812014421317
      1471263616812014421313 + 4 = 1471263616812014421317
      10921471263616812014421313 + 4 = 10921471263616812014421317
      34810921471263616812014421313 + 4 = 34810921471263616812014421317
      334810921471263616812014421313 + 4 = 334810921471263616812014421317
      147334810921471263616812014421313 + 4 = 147334810921471263616812014421317
      1581147334810921471263616812014421313 + 4 = 1581147334810921471263616812014421317
      10081581147334810921471263616812014421313 + 4 = 10081581147334810921471263616812014 421317


      19
      3019
      213019
      9213019
      279213019
      123279213019
      165123279213019
      588165123279213019
      441588165123279213019
      168441588165123279213019
      21168441588165123279213019
      30321168441588165123279213019
      162030321168441588165123279213019
      3369162030321168441588165123279213019
      1060353369162030321168441588165123279213019

      19+4 = 23
      3019 +4 = 3023
      213019 + 4 = 213023
      9213019 + 4 = 9213023
      279213019 + 4 = 279213023
      123279213019 + 4 = 123279213023
      165123279213019 + 4 = 165123279213023
      588165123279213019 + 4 = 588165123279213023
      441588165123279213019 + 4 = 441588165123279213023
      168441588165123279213019 + 4 = 168441588165123279213023
      21168441588165123279213019 + 4 = 21168441588165123279213023
      30321168441588165123279213019 + 4 = 30321168441588165123279213023
      162030321168441588165123279213019 + 4 = 162030321168441588165123279213023
      3369162030321168441588165123279213019 + 4 = 3369162030321168441588165123279213023
      1060353369162030321168441588165123279213019 + 4 = 1060353369162030321168441588165123279213023

       

    Para estas dos últimas ristras tenemos, como era de esperar, la propiedad de que si sumamos 4 a cada uno de los números primos el resultado, es también en cada caso, otro número primo. Es decir,tenemos tres ristras de números parientes o como se les conoce en matemáticas de "números primos primos".

    Y con el primo 999979:

      999979
      12999979
      15912999979
      15315912999979
      15315315912999979
      102915315315912999979
      309102915315315912999979
      2301309102915315315912999979
      3902301309102915315315912999979
      11403902301309102915315315912999979
      166511403902301309102915315315912999979
      5283166511403902301309102915315315912999979
      13385283166511403902301309102915315315912999979
      532513385283166511403902301309102915315315912999979
      2811532513385283166511403902301309102915315315912999979

      999979+4 = 999983
      12999979+4 = 12999983
      15912999979 +4 = 15912999983
      15315912999979 +4 = 15315912999983
      15315315912999979 +4 = 15315315912999983
      102915315315912999979 +4 = 102915315315912999983
      309102915315315912999979 +4 = 309102915315315912999983
      2301309102915315315912999979 +4 = 2301309102915315315912999983
      3902301309102915315315912999979 +4 = 3902301309102915315315912999983
      11403902301309102915315315912999979 +4 =11403902301309102915315315912999983
      166511403902301309102915315315912999979+4=166511403902301309102915315315912999983
      5283166511403902301309102915315315912999979 +4 = 5283166511403902301309102915315315912999983
      13385283166511403902301309102915315315912999979 +4 = 13385283166511403902301309102915315315912999983
      532513385283166511403902301309102915315315912999979 +4 = 532513385283166511403902301309102915315315912999983
      2811532513385283166511403902301309102915315315912999979 +4 = 2811532513385283166511403902301309102915315315912999983


    Es decir, a los números primos parientes también se les conoce como números primos primos.



    RISTRAS DE NÚMEROS PRIMOS SEXIS

    Los segundos son aquellos en que los números que las forman son parejas de dos números p y p+6 tales que ambos son números primos. A estos números se les conoce como números primos sexis porque su nombre se debe a que la palabra en latín para el número “seis” es “sex”.


    Las diez primeras parejas de números sexis son:

      (5, 11), (7, 13), (11, 17), (13, 19), (17, 23),

      (23, 29), (31, 37), (37, 43), (41, 47), (47, 53).

    Escribimos cuatro ristras a partir de las cuatro primeras parejas de números primos sexis exceptuando la pareja (5,11) ya que, posteriormente, no hay ningún primo terminado en cinco. La otra pareja de primos sexis la tomaremos (999763, 999769).

      7
      37
      2137
      62137
      362137
      39362137
      3939362137
      333939362137
      171333939362137
      336171333939362137
      1041336171333939362137
      2521041336171333939362137
      35372521041336171333939362137
      7235372521041336171333939362137
      10447235372521041336171333939362137


      11
      311
      6311
      126311
      6126311
      1266126311
      91266126311
      2191266126311
      1592191266126311
      6001592191266126311
      13236001592191266126311
      2713236001592191266126311
      1052713236001592191266126311
      16381052713236001592191266126311
      74416381052713236001592191266126311

      Y una ristra de primos sexis empleando como germen la pareja (999763/999769)


        999763
        57999763
        5757999763
        845757999763
        33845757999763
        18033845757999763
        49818033845757999763
        38449818033845757999763
        2738449818033845757999763
        3332738449818033845757999763
        7023332738449818033845757999763
        1357023332738449818033845757999763
        62131357023332738449818033845757999763
        619262131357023332738449818033845757999763
        432619262131357023332738449818033845757999763



    RISTRAS DE TRIPLETES PRIMOS

    Un triplete primo es un conjunto de tres números primos en los que el menor y el mayor de los tres difieren en 6. En particular, los conjuntos deben tener la forma (p, p + 2, p + 6) o (p, p + 4, p + 6). Con las excepciones de (2, 3, 5) y (3, 5, 7), esta es la agrupación más cercana posible de tres números primos, ya que uno de cada tres números impares secuenciales es un múltiplo de tres, y por lo tanto no es primo (a excepción del propio número 3).
    A tales conjuntos también se les conoce como primos trillizos. los primeros de ellos, exceptuando (5,7,11) que no puede formar ristra por la particularidad de que no puede haber ningún primo que tenga como cifra unidad el 5, son:

      (7, 11, 13), (11, 13, 17), (13, 17, 19), (17, 19, 23),
      (37, 41, 43), (41, 43, 47), (67, 71, 73), (97, 101, 103),
      (101, 103, 107), (103, 107, 109), (107, 109, 113)

    Así, por ejemplo, tenemos dos ristras p, p+2, p+6, con los tripletes primos (11, 13, 17) y (311, 313, 317).

      11
      311
      63311
      42363311
      5742363311
      4055742363311
      122704055742363311
      2145122704055742363311
      478142145122704055742363311
      12831478142145122704055742363311
      4355712831478142145122704055742363311
      1893904355712831478142145122704055742363311
      842731893904355712831478142145122704055742363311
      182580842731893904355712831478142145122704055742363311
      82515182580842731893904355712831478142145122704055742363311


      311
      10044311
      1302310044311
      128101302310044311
      15687128101302310044311
      1753515687128101302310044311
      1663201753515687128101302310044311
      491671663201753515687128101302310044311
      204423491671663201753515687128101302310044311
      56796204423491671663201753515687128101302310044311
      8752856796204423491671663201753515687128101302310044311
      1966508752856796204423491671663201753515687128101302310044311
      1548451966508752856796204423491671663201753515687128101302310044311
      3172441548451966508752856796204423491671663201753515687128101302310044311
      19290603172441548451966508752856796204423491671663201753515687128101302310044311
    7
    100357
    10500100357
    1107010500100357
    170371107010500100357
    54786170371107010500100357
    1418454786170371107010500100357
    595201418454786170371107010500100357
    48342595201418454786170371107010500100357
    6435948342595201418454786170371107010500100357
    1978866435948342595201418454786170371107010500100357
    104521978866435948342595201418454786170371107010500100357
    51321104521978866435948342595201418454786170371107010500100357
    15526851321104521978866435948342595201418454786170371107010500100357
    148522515526851321104521978866435948342595201418454786170371107010500100357
    352725148522515526851321104521978866435948342595201418454786170371107010500100357
    483012352725148522515526851321104521978866435948342595201418454786170371107010500100357
    13
    4513
    724513
    1365724513
    1171365724513
    104881171365724513
    84104881171365724513
    675684104881171365724513
    10926675684104881171365724513
    8090410926675684104881171365724513
    272588090410926675684104881171365724513
    10251272588090410926675684104881171365724513
    7383610251272588090410926675684104881171365724513
    1612537383610251272588090410926675684104881171365724513
    5186731612537383610251272588090410926675684104881171365724513
    2945975186731612537383610251272588090410926675684104881171365724513
    6283412945975186731612537383610251272588090410926675684104881171365724513
También pueden construirse ristras similares con otros números primos terminados en 7. Por ejemplo, el 37, 67, 97, 277,307, etcétera; en cambio con el 13 no tenemos otra terminación prima hasta el 613 y después pasa al 4513.Naturalmente se pueden formar ristras de tripletes primos tomando como germen un primo de orden superior, como por ejemplo el 104881171365724513, para el que tenemos:

    104881171365724513
    16833104881171365724513
    847216833104881171365724513
    27516847216833104881171365724513
    1839627516847216833104881171365724513
    370621839627516847216833104881171365724513
    143319370621839627516847216833104881171365724513
    270012143319370621839627516847216833104881171365724513
    191163270012143319370621839627516847216833104881171365724513
    70635191163270012143319370621839627516847216833104881171365724513
    24362470635191163270012143319370621839627516847216833104881171365724513
    51062724362470635191163270012143319370621839627516847216833104881171365724513
    26279451062724362470635191163270012143319370621839627516847216833104881171365724513
    48370526279451062724362470635191163270012143319370621839627516847216833104881171365724513
    87465948370526279451062724362470635191163270012143319370621839627516847216833104881171365724513
RISTRAS DE TRIPLETES DE NÚMEROS PRIMOS SEXIS

Son números tales que p , p+6 y p+12 son primos. Escribimos el número p como primero de la sarta, (7,13,19), (17,23,29), (31,37,43)


    7
    67
    367
    6367
    1596367
    10081596367
    610081596367
    3435610081596367
    4503435610081596367
    1264503435610081596367
    18601264503435610081596367
    102018601264503435610081596367
    18717102018601264503435610081596367
    4208718717102018601264503435610081596367
    30694208718717102018601264503435610081596367


    17
    1217
    991217
    555991217
    498555991217
    4047498555991217
    4834047498555991217
    31174834047498555991217
    355531174834047498555991217
    51942355531174834047498555991217
    53151942355531174834047498555991217
    197453151942355531174834047498555991217
    30694208718717102018601264503435610081596367
    1787130694208718717102018601264503435610081596367
    574471787130694208718717102018601264503435610081596367



    31
    2131
    62131
    5762131
    875762131
    183875762131
    5817183875762131
    8855817183875762131
    71858855817183875762131
    810071858855817183875762131
    186810071858855817183875762131
    6186810071858855817183875762131
    790836186810071858855817183875762131
    7434790836186810071858855817183875762131
    862987434790836186810071858855817183875762131

RISTRAS DE CUARTETOS DE NÚMEROS PRIMOS SEXIS

Son números tales que p , p+6 , p+12 y p+18 son primos. Escribimos las ristras para los gérmenes (11, 17, 23, 29), (5431,5437, 5443,5449) (17471,17477,17483, 17489) (41,47,53,59).

    11
    3911
    10593911
    606910593911
    1125606910593911
    211471125606910593911
    260937211471125606910593911
    595575260937211471125606910593911
    346863595575260937211471125606910593911
    2691906346863595575260937211471125606910593911
    55513412691906346863595575260937211471125606910593911
    873944155513412691906346863595575260937211471125606910593911


    5431
    15785431
    1515785431
    1194721515785431
    2394931194721515785431
    825392394931194721515785431
    96714825392394931194721515785431
    31103196714825392394931194721515785431
    165074731103196714825392394931194721515785431
    3283098165074731103196714825392394931194721515785431
    62540193283098165074731103196714825392394931194721515785431
    712106162540193283098165074731103196714825392394931194721515785431


    17471
    54617471
    21054617471
    10079421054617471
    1591810079421054617471
    512161591810079421054617471
    58920512161591810079421054617471
    116656858920512161591810079421054617471
    634326116656858920512161591810079421054617471
    1748271634326116656858920512161591810079421054617471
    209778691748271634326116656858920512161591810079421054617471
    23803116209778691748271634326116656858920512161591810079421054617471



    41
    12641
    448812641
    18408448812641
    928818408448812641
    25725928818408448812641
    3139525725928818408448812641
    1376103139525725928818408448812641
    28491871376103139525725928818408448812641
    794474428491871376103139525725928818408448812641


OTRAS RISTRA DE CUARTETOS DE NÚMEROS PRIMOS

Ristras de p , p+18, p+36, p+54 y ristras de p, p+24, p+ 48, p+ 72,
para los cuartetos correspondientes


    313
    165313
    1929165313
    401941929165313
    57401941929165313
    1416657401941929165313
    9537001416657401941929165313
    2517999537001416657401941929165313
    2974502517999537001416657401941929165313
    17633432974502517999537001416657401941929165313



    2423
    5822423
    60365822423
    2818560365822423
    202562818560365822423
    210189202562818560365822423
    115734210189202562818560365822423
    252315115734210189202562818560365822423
    7417953252315115734210189202562818560365822423
    175615447417953252315115734210189202562818560365822423




    59
    13859
    102913859
    7899102913859
    279097899102913859
    148155279097899102913859
    272265148155279097899102913859
    606567272265148155279097899102913859
    953697606567272265148155279097899102913859
    1641396953697606567272265148155279097899102913859




    2729
    2882729
    20462882729
    10906520462882729
    2098810906520462882729
    1112312098810906520462882729
    5393071112312098810906520462882729
    2220275393071112312098810906520462882729
    8934182220275393071112312098810906520462882729
    21783098934182220275393071112312098810906520462882729



 


Página publicada por: José Antonio Hervás