Estás en > Matemáticas y Poesía > Matemáticas

MONOGRAFIAS MATEMÁTICAS ~ ANÁLISIS MATEMÁTICO

ADHERENCIA Y CONJUNTO CERRADO

CONJUNTOS CERRADOS

Punto adherente.

Sea E un conjunto de R, se dice que xo es adherente a E si todo intervalo abierto que contiene a xo contiene al menos un punto de E, que puede ser xo.

El conjunto de todos los puntos adherentes a E se denomina adherencia de E y se designa por \(\bar{E}\) .

Sea xo un punto de E, todo intervalo abierto que contiene a xo contiene un punto de E, el propio xo . Luego, todo punto de E es adherente a E.

Sea x'o un punto de acumulación de E y \(x'_o\notin E\), por definición de punto de acumulación todo intervalo abierto que contiene a x'o contiene algún punto de E, por tanto x'o es adherente a E, de ahí se tiene \(E' \subset \bar{E}\).

Como se ha visto, todo punto de acumulación es adherente a E. Sea ahora un intervalo abierto \(I \subset E\), tal que \(I = (x"_o - \varepsilon ,x"_o + \varepsilon )\) solo contenga a x"o. Por tanto x"o es adherente a E pero no es de acumulación, por tanto \(E' \subset \bar{E}\) de ahí se deduce \(E' \cap \bar{E} = E'\).

Consideremos ahora la adherencia de E. Sea \(x_o \in \bar{E}\), o bien xo es un punto de acumulación de E o bien no lo es;si no es punto de acumulación de E, existe un intervalo abierto que contiene solo a \(x_o \in E\). A este punto se le llama punto aislado.

Todo punto de acumulación de E, pertenece a \(\bar{E}\) y todo punto de E pertence a \(\bar{E}\), por tanto\(E' \cup E \subset \bar{E}\). Por otro lado, todo punto de \(\bar{E}\) pertenece a E o es punto de acumulación de E, de ahí \(\bar{E}\subset E \cup E' \), pero por la propiedad antisimétrica de la inclusión se tiene \(\bar{E}= E \cup E' \).

Un conjunto en el que todos sus puntos son aislados se llama conjunto discreto.

Conjunto cerrado.- Se dice que E es cerrado si coincide con su adherente.

TEOREMA

La condición necesaria y suficiente para que un conjunto E sea cerrado es que contenga a todos sus puntos de acumulación.

Demostración

    \( E = \bar{E}= E \cup E' \) pero como \(E' \subset \bar{E} \Rightarrow E' \subset E\)

Propiedades de los conjuntos cerrados

La unión de una familia finita de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado.

Demostración

Sean E1 y E2 dos conjuntos cerrados, por tanto \(E_1 = \bar{E}_1 \; ; \; E_2 = \bar{E}_2\), y de ahí se tiene \(E_1 \cup E_2 = \bar{E}_1 \cup \bar{E}_2\).

Se ha de demostrar que \(\bar{E}_1 \cup \bar{E}_2 = \overline{E_1 \cup E_2}\).

Si \( x \in \bar{E}_1 \cup \bar{E}_2\; \exists \; a \) perteneciente al intervalo abierto \((x, \varepsilon)\) y por definición \(a\) debe pertenecer a \(E_1 \cup E_2\), de ahí :

    \( \left. \begin{matrix}a \in E_1 \Rightarrow x \in \bar{E}_1 \\ a \in E_2 \Rightarrow x \in \bar{E}_2 \end{matrix}\right \} \Rightarrow x \in \bar{E}_1 \cup \bar{E}_2\)

    Si \( \left\{ \begin{matrix}x \in E_1 \Rightarrow \; \exists \; a \in I(x,\varepsilon)\\ a \in E_1 \Rightarrow \; \exists \; a \in I(x,\varepsilon) \end{matrix}\right \}\) por definición \( \left\{ \begin{matrix}x \in E_1 \\ x \in E_2 \end{matrix}\right \} \quad \Rightarrow x \in \overline{E_1 \cup E_2} \)

Por tanto tenemos \( \bar{E}_1 \cup \bar{E}_2 =\overline{E_1 \cup E_2} \), como \(E_1 \cup E_2 = \bar{E}_1 \cup \bar{E}_2 \) ,se tiene \(E_1 \cup E_2 = \overline{E_1 \cup E_2} \)

Y por definición de conjunto cerrado, tenemos que \(E_1 \cup E_2 \) es cerrado.

Por la propiedad asociativa de la unión, el teorema se puede aplicar a un número n finito de conjuntos cerrados, es decir, a una familia finita de conjuntos cerrados.

    \(E_1\cup E_2\cup E_3\cup \cdots \cup E_n = \bar{E}_1\cup \bar{E}_2\cup \bar{E}_3\cup \cdots \cup \bar{E}_n = \)
    \(= \overline{E_1\cup E_2\cup E_3\cup \cdots \cup E_n}\)

Pero en general, no es cierto pue la unión de una infinidad de conjuntos cerrados sea un conjunto cerrado;así, por ejemplo, la unión de todos los conjuntos de la forma :

    \( \displaystyle E _n = \left[\frac{1}{2n+1}, \frac{1}{2n}\right]\) (para n = 1,2,3,...)

\(\cup E_n \) no contiene al cero, pero 0 es un punto de acumulación de E ; por tanto, al no contener a todos sus nuntos de acumulación, En no es cerrado.

La intersección de una familia infinita de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado.

Demostración.- Sea \( \mathfrak{F} = \left\{F_i\right\} \) , una familia infinita de conjuntos cerrados. Sea x un punto de acumulación de la intersección de la familia \(\left\{F_i\right\} \) , es decir :

    Si \( \displaystyle E = \bigcap_{i\in I}^\infty F_i \Rightarrow x \in E' \; ; x = lim \; x_n \; ; \; x_n\in E\)

x será limite de una sucesión de puntos que pertenecen a cada Fi , por tanto x será punto de acumulación de cada Fi ; como todos los Fi son cerrados :

    \( \displaystyle x \in F_i \Rightarrow x\in \bigcap_{i\in I}^\infty F_i \)

Punto interior. Frontera. Conjuntos abiertos

Recta numérica- Capítulo siguiente Conjuntos abiertos
¿Te han sido de utilidad estos apuntes sobre la recta numérica?.- ¡Recomiénda esta página!

Otros usuarios de Matemáticas y poesía también han visto:




Página publicada por: José Antonio Hervás