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MONOGRAFIAS MATEMÁTICAS ~ ANÁLISIS MATEMÁTICO

RECTA NUMÉRICA- CONJUNTO ABIERTO Y CERRADO

CONJUNTOS ACOTADOS

Cota superior e inferior de un conjunto

Un conjunto E de puntos de R se denomina acotado superiormente si existe un punto b tal que cumple :

    \(\forall x \in E\; \exists\; b \in R / x \leq b \)

De igual forma se dice que un conjunto E está acotado inferiormente cuando existe un punto a que cumple :

    \(\forall x \in E \; \exists \;b \in R / a \leq x \)

Un conjunto E de puntos de R acotado a la vez superior e inferiormente se denomina simplemente acotado.

Si E está acotado, existen dos números a, b tales que cualquiera que sea x perteneciente a E, se tiene :

    \(a \leq x \leq b \)

Si se designa por:

    \( \alpha = max (|a|, |b|) \Rightarrow |x| <\alpha\)

Recíprocamente, para todo conjunto tal que,

    \(\forall x \in E \; |x| \leq \alpha \)

se dice de él que está acotado.

Se dice también que un conjunto está acotado si puede encerrarse en un intervalo limitado.

Punto de acumulación-Conjunto derivado

Sea E un conjunto de puntos de R, se dice que un punto xo es de acumulación de E, si todo intervalo abierto que contiene a xo contiene algún punto de E distinto de x .

El conjunto de todos los puntos de acumulación de E se denomina conjunto derivado de E y se designa por E'.

Sea E un conjunto de puntos de R que admite un punto de acumulación xo ;sea \(\varepsilon _1\) un número positivo; en el intervalo abierto \(x_o - \varepsilon _1, x_o + \varepsilon_2\) existe por lo menos un punto de E distinto de xo. Sea x1 ese punto. Dado un número positivo \(\varepsilon _2 | x_o - x_1|\) en intervalo abierto \(x_o - \varepsilon _2, x_o + \varepsilon_2\), que no contiene a x1, existe por lo menos un punto de E distinto de xo.
Continuando con la operación, obtenemos una infinidad de puntos (xn) de E : \(\{x_1, x_2, x_3, \cdots , x_n\}\) , tales que cualquier intervalo suficientemente pequeño cuyo punto medio sea xo está contenido en \((x_o-\varepsilon_k , x_o + \varepsilon_k)\) , que contiene todos los puntos xn salvo un número finito. La sucesión xn ,converge pues a xo.

Por consiguiente podemos enunciar :

Para que un conjunto tenga algún punto de acumulación debe tener infinitos puntos. Cualquier intervalo abierto que contenga a xo debe contener infinitos puntos de E.

Cualquier sucesión convergente tiene un punto de acumulación y solo uno, que es su límite.

Si existiese otro x'o, poniendo \(\varepsilon = |x_o - x'_o|/3\) existiría una infinidad de xn en \((x_o-\varepsilon_k , x_o + \varepsilon_k)\) e igualmente en \((x'_o-\varepsilon_k , x'_o + \varepsilon_k)\) , pero como \(\varepsilon = |x - x'|/3\), podríamos obtener valores de p, q arbitrariamente grandes, tales que\(|x_p - x_q|> \varepsilon/3\) , con lo que no se cumpliría el criterio de Cauchi y la sucesión no sería convergente.

Punto adherente.- Adherencia y conjunto cerrado

Recta numérica- Capítulo siguiente Conjunto cerrado
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tema escrito por: José Antonio Hervás