Un conjunto E de puntos de R acotado a
la vez superior e inferiormente se denomina simplemente acotado.
Si E está acotado, existen dos números a,
b tales que cualquiera que sea x perteneciente a E, se tiene
:
Si se designa por:
\( \alpha = max (|a|, |b|) \Rightarrow |x| <\alpha\)
Recíprocamente, para todo conjunto tal que,
\(\forall x \in E \; |x| \leq \alpha \)
se dice de él que está acotado.
Se dice también que un conjunto está acotado
si puede encerrarse en un intervalo limitado.
Punto de acumulación-Conjunto derivado
Sea E un conjunto de puntos de R, se dice que un punto xo
es de acumulación de E, si todo intervalo abierto que
contiene a xo contiene algún punto de E
distinto de x .
El conjunto de todos los puntos de acumulación de
E se denomina conjunto derivado de E y se designa por E'.
Sea E un conjunto de puntos de R que admite un punto de
acumulación xo ;sea \(\varepsilon _1\) un
número positivo; en el intervalo abierto \(x_o - \varepsilon
_1, x_o + \varepsilon_2\) existe por lo menos un punto de
E distinto de xo. Sea x1 ese punto.
Dado un número positivo \(\varepsilon _2 | x_o - x_1|\)
en intervalo abierto \(x_o - \varepsilon _2, x_o + \varepsilon_2\),
que no contiene a x1, existe por lo menos un punto
de E distinto de xo.
Continuando con la operación, obtenemos una infinidad
de puntos (xn) de E : \(\{x_1, x_2, x_3, \cdots
, x_n\}\) , tales que cualquier intervalo suficientemente
pequeño cuyo punto medio sea xo está
contenido en \((x_o-\varepsilon_k , x_o + \varepsilon_k)\)
, que contiene todos los puntos xn salvo un número
finito. La sucesión xn ,converge pues a
xo.
Por consiguiente podemos enunciar :
Para que un conjunto tenga algún punto de acumulación
debe tener infinitos puntos. Cualquier intervalo abierto que
contenga a xo debe contener infinitos puntos de
E.
Cualquier sucesión convergente tiene un punto de
acumulación y solo uno, que es su límite.
Si existiese otro x'o, poniendo \(\varepsilon
= |x_o - x'_o|/3\) existiría una infinidad de xn
en \((x_o-\varepsilon_k , x_o + \varepsilon_k)\) e igualmente
en \((x'_o-\varepsilon_k , x'_o + \varepsilon_k)\) , pero
como \(\varepsilon = |x - x'|/3\), podríamos obtener
valores de p, q arbitrariamente grandes, tales que\(|x_p -
x_q|> \varepsilon/3\) , con lo que no se cumpliría
el criterio de Cauchi y la sucesión no sería
convergente.
Punto adherente.- Adherencia y conjunto cerrado
Recta
numérica- Capítulo siguiente Conjunto
cerrado |