PERTURBACIÓN DE ECUACIONES
DIFERENCIALES LINEALES CON UN TÉRMINO CUASILINEAL DEPENDIENTE
DE UN PEQUEÑO PARÁMETRO
Tomaremos el sistema autónomo:
\( \begin{array}{l}
\dot{u} = v + \varepsilon·f(u,v) \\
\\
\dot{v} = -u + \varepsilon·g(u,v)
\end{array}\qquad\qquad (1) \)
Dónde \( \varepsilon \) es un pequeño parámetro
y \( f \quad y \quad g \) son cuasilineales y analíticas
en el círculo \( u^2+v^2 = 1\), verificando:
\( \begin{array}{l} f(\lambda u \; , \; \lambda v) = \lambda·f(u,v)
\\ \\ g(\lambda u \; , \; \lambda v) = \lambda·g(u,v) \; ,
\; \end{array}\forall \lambda , u , v\)
Concretaremos el problema al hallazgo de la primera, segunda,...
Aproximación de la solución general de (1) y tenga
exactos se terminó hasta el orden \( \varepsilon , \varepsilon^2,
... \) siendo \( \varepsilon t \) un valor arbitrario.
Para desarrollos los de la forma:
\( \displaystyle \begin{array}{l}
u = \sum_{n=0}^{\infty}\varepsilon^n·u_n(t) \\
\\
v = \sum_{n=0}^{\infty}\varepsilon^n·v_n(t)
\end{array} \)
No es posible estimar la aparición de términos seculares.
El origen es un punto del correspondiente sistema homogéneo:
\( \begin{array}{l}
\dot{x} = y \\
\\
\dot{y} = -x
\end{array}\qquad\qquad (2) \)
Que es llamado crítico cuando todos los autovalores de
la matriz que lo define son imaginarios puros. Para este sistema
la solución es de la forma:
\( \begin{array}{l}
x = a·\cos (t+t_o) \\
\\
y = -a·\sin (t+t_o)
\end{array} \)
Con \( a, t_o\) constantes
Para krylov-Bogoliubov y Mitropolski, el método de solución
de un sistema con términos perturbados no lineales consiste
en tomar para (1) una solución de la forma:
\( \begin{array}{l}
u = a·\cos \psi + \varepsilon·u_1(a,\psi) + \varepsilon^2·u_2(a,\psi)
+ ... \\
\\
v = -a·\sin \psi + \varepsilon·v_1(a,\psi) + \varepsilon^2·v_2(a,\psi)
+ ...
\end{array}\qquad (3) \)
Dónde \( u_i \quad ,\quad v_i \) son funciones periódicas
(con periodo \( 2\pi\)) de la variable \( \psi \), y \( a(t)\;
y\; \psi(t) \) valores no constantes que satisfacen las ecuaciones:
\( \begin{array}{l}
\dot{a} = \varepsilon·A_1(a) + \varepsilon^2·A_2(a)
+ ... \\
\\
\dot{\psi} = \varepsilon·B_1(a) + \varepsilon^2·B_2(a)
+ ...
\end{array}\qquad (4)\)
Y \( A_i\; ,\; B_i \), deben ser determinadas de modo que (3)
sea solución de (1). Lo anterior se aplica a aproximaciones
en que aparezcan términos no seculares. El método
puede simplificarse en gran manera haciendo un uso exhaustivo
de la cuasi linealidad de \( f\; ,\; g \) y teniendo en cuenta
lo siguiente:
(i) es suficiente asumir que \( f\; y\; g \) son analíticas
en el círculo unidad (en vez de serlo en todo el plano)
(ii) cuándo \( u_i \:,\: v_i \; y \; A_i \) son lineales
y \( B_i \) constante, pueden tomarse para (3) y (4) soluciones
de la forma:
\( \displaystyle \begin{array}{l}
u = a\left[\cos \psi + \varepsilon·u_1(\psi) + \varepsilon^2·u_2(\psi)
+ ...\right] \\
\\
v = a\left[-\sin \psi + \varepsilon·v_1(\psi) + \varepsilon^2·v_2(\psi)
+ ...\right]
\end{array}\qquad (5) \)
\( \begin{array}{l}
\dot{a} = a\left(\varepsilon·A_1 + \varepsilon^2·A_2
+ \cdots\right) \\
\\
\dot{\psi} = 1 + \varepsilon·B_1 + \varepsilon^2·B_2
+ \cdots
\end{array}\qquad\qquad (6) \)
Siendo \(A_i \quad y\quad B_i\)
(iii) para una función de la forma \( f(\cos \psi \; ,\;
-\sin \psi ) \) el desarroyo en serie de Fourier implicará
solo términos de la forma:
\( \cos(2n+1) \psi \; ,\; \sin(2n+1) \psi \)
Como ahora f(u,v) y g(u,v) son de la forma:
\( \begin{array}{l}
f(u,v) = a·f(\cos \psi + \varepsilon·u_1 + \varepsilon^2u_2
+ ... ,\\ \\ -\sin \psi + \varepsilon·v_1 + \varepsilon^2v_2
+ ...) \\
\\
g(u,v) = a·f(\cdots)
\end{array} \)
Pueden desarrollarse en serie de Taylor en un entorno del punto
\( \Omega = (\cos \psi , -\sin \psi) \) dentro del círculo
unidad.
Llevando (5) y (6) y los anteriores desarrollos a (1) y comparando
los coeficientes de \( \varepsilon , \varepsilon^2, ... \) en
los dos miembros de la ecuación, resultarán en primera
aproximación las ecuaciones:
\( \begin{array}{l}
A_1·\cos \psi - B_1·\sin \psi + \dot{u}_1 - v_1
= f(\Omega) \\
\\
A_1·\sin \psi - B_1·\cos \psi + \dot{v}_1 + u_1
= g(\Omega)
\end{array}\qquad (7) \)
Teniendo \( f(\Omega) \) un desarrollo de Fourier de la forma:
\( \displaystyle f(\Omega) = \sum_{n=0}^{\infty}\left[f_n·\cos
(2n+1)\psi + F_n·\sin (2n+1)\psi\right] \)
Y análogamente \( g(\Omega) \).
También \( u_1 \quad y \quad v_1 \) tendrán desarrollos
de Fourier de la forma:
\( \displaystyle \begin{array}{l}
u_1 = \sum_{n=0}^{\infty} \left(\alpha_n·\cos n\psi +
\beta_n·\sin n\psi\right) \\
\\
v_1 = \sum_{n=0}^{\infty} \left(\gamma_n·\cos n\psi +
\delta_n·\sin n\psi\right)
\end{array} \)
Por lo que podemos comparar en (7) los coeficientes de \( \cos
n\psi \quad y \quad \sin n\psi \) de ambos miembros para obtener:
\( \displaystyle \begin{array}{l}
A_1 = \frac{1}{2}(f_o - G_o) = \lambda\qquad ;\quad \beta_1
- \gamma_1 = \frac{1}{2}(f_o + G_o) \\
\\
B_1 = \frac{1}{2}(F_o + g_o) = \mu\qquad ;\quad \alpha_1 + \delta_1
= \frac{1}{2}(g_o - F_o)
\end{array} \)
Dónde \( g_n \quad y \quad G_n \) son los coeficientes
de Fourier de \( g(\Omega) \).
De ese modo, \( A_1 \quad y \quad B_1 \) son determinadas en función
de \( \alpha_1 , \beta_1 , \gamma_1 \; y \; \delta_1 \) que pueden
ser obtenidas en cuenta posteriores condiciones que son:
\(\alpha_{2k} = \beta_{2k} =\gamma_{2k} = \delta_{2k} = 0 \)
Y por ejemplo:
\( \displaystyle \alpha_{2k+1} = \frac{g_k - (2k+1)F_k}{4k(k+1)}\;
,\; \cdots \)
Que muestran que las series de \( u_1 \quad y \quad v_1 \) son
convergentes.
De las ecuaciones:
\( \dot{a} = \varepsilon·a·\lambda \qquad ;\qquad
\dot{\psi} = 1 + \varepsilon·\mu \)
Resulta una primera aproximación para \( "a"
\quad y \quad \psi \):
\( a = a_o·\exp (\varepsilon \lambda t) \quad ; \quad
\psi = (\psi_o + t) + \varepsilon \mu t \)
Siendo \( a_o\quad y \quad \psi_o \) constantes.
Y a partir de ellas pueden calcularse fácilmente \( u_1
\quad y \quad v_1 \)
Por ejemplo, sí:
\( \displaystyle f = \frac{u^3}{u^2 + v^2} \qquad ; \qquad g
= \frac{v^3}{u^2 + v^2} \)
Entonces:
\( \displaystyle \begin{array}{l}
a = a_o·\exp (0,75·\varepsilon t) \quad ; \quad
\psi = t + \psi_o \\
\\
u_1 = \alpha_1·\cos \psi + \beta_1·\sin \psi +
\frac{1}{16}·\sin 3\psi \\
\\
v_1 = \beta_1·\cos \psi - \alpha_1·\sin \psi -
\frac{1}{16}·\cos 3\psi
\end{array} \)
Dónde \( \alpha_1 \quad y \quad \beta_1 \) son indeterminados.
La función:
\( a = a_o·\exp (0,75·\varepsilon t) \)
Tendrá completa su amplitud en los modos fundamentales
sí y solo sí \( \alpha_1 = 0 \) y asimismo estos
modos fundamentales no llevarán fase variable sí
\( \beta_1 = 0 \).
La primera aproximación será entonces la que sigue:
\( \displaystyle \begin{array}{l}
u = a\left(\cos \psi + \frac{\varepsilon}{16}·\sin 3\psi\right)
\quad ;\quad a = a_o·\exp (0,75\varepsilon t) \\
\\
v = a\left(-\sin \psi - \frac{\varepsilon}{16}·\cos 3\psi\right)\quad
;\quad \psi = t + t_o
\end{array} \)
Y:
\( \displaystyle r^2 = u^2 + v^2 = a^2\left(1 + \frac{\varepsilon}{8}·\sin
4\psi + \frac{\varepsilon^2}{256}\right) \)
Que está en buen acuerdo con la solución exacta
dada en la forma:
\( \displaystyle r^2 = a^2_o·\exp \left(\frac{3}{2}·\varepsilon
t\right)·\left(1 + \frac{\varepsilon}{8}·\sin
4\psi +\theta(\varepsilon^2)\right) \)
Dando \( \alpha\simeq \psi \) dónde \( \tan \alpha = v/u
\).
El cálculo de la segunda aproximación no tiene
mayor dificultad. Aparte, ciencia de las series (5) y (6) queda
pendiente.
Intercambiamos los anteriores valores de \( f \quad y \quad g
\) puede probarse que las soluciones son periódicas (de
periodo \( 2\pi \)), las órbitas son cerradas en la primera
aproximación estudiada es:
\( \displaystyle \begin{array}{l}
u = a_o·\cos \psi\qquad ;\qquad a_o = constante \\
\\
v = a_o(-1 + 0,75·\varepsilon)\sin \psi + \frac{5}{16}·\sin
3\psi \quad ;\quad \psi = t + t_o
\end{array} \)
Dónde:
\( \displaystyle u^2 + \frac{v^2}{(1 - 0,75·\varepsilon)^2}
= a_o^2[1 + \theta(\varepsilon)] \)
Y en este caso las órbitas son aproximadamente elipses.