Estás en > Matemáticas y Poesía > Matemáticas

MONOGRAFIAS MATEMÁTICAS ~ ECUACIONES DIFERENCIALES

PERTURBACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES

PERTURBACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES CON UN TÉRMINO CUASILINEAL DEPENDIENTE DE UN PEQUEÑO PARÁMETRO

Tomaremos el sistema autónomo:

    \( \begin{array}{l}
    \dot{u} = v + \varepsilon·f(u,v) \\
     \\
    \dot{v} = -u + \varepsilon·g(u,v)
    \end{array}\qquad\qquad (1) \)
Dónde \( \varepsilon \) es un pequeño parámetro y \( f \quad y \quad g \) son cuasilineales y analíticas en el círculo \( u^2+v^2 = 1\), verificando:
    \( f(\lambda u \; , \; \lambda v) = \lambda·f(u,v) \quad ;\quad g(\lambda u \; , \; \lambda v) = \lambda·g(u,v) \; , \; \forall \lambda , u , v \)
Concretaremos el problema al hallazgo de la primera, segunda,... Aproximación de la solución general de (1) y tenga exactos se terminó hasta el orden \( \varepsilon , \varepsilon^2, ... \) siendo \( \varepsilon t \) un valor arbitrario.
Para desarrollos los de la forma:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    u = \sum_{n=0}^{\infty}\varepsilon^n·u_n(t) \\
     \\
    v = \sum_{n=0}^{\infty}\varepsilon^n·v_n(t)
    \end{array} \)
No es posible estimar la aparición de términos seculares.
El origen es un punto del correspondiente sistema homogéneo:
    \( \begin{array}{l}
    \dot{x} = y \\
     \\
    \dot{y} = -x
    \end{array}\qquad\qquad (2) \)
Que es llamado crítico cuando todos los autovalores de la matriz que lo define son imaginarios puros. Para este sistema la solución es de la forma:
    \( \begin{array}{l}
    x = a·\cos (t+t_o) \\
     \\
    y = -a·\sin (t+t_o)
    \end{array} \)
Con \( a, t_o\) constantes
Para krylov-Bogoliubov y Mitropolski, el método de solución de un sistema con términos perturbados no lineales consiste en tomar para (1) una solución de la forma:
    \( \begin{array}{l}
    u = a·\cos \psi + \varepsilon·u_1(a,\psi) + \varepsilon^2·u_2(a,\psi) + ... \\
     \\
    v = -a·\sin \psi + \varepsilon·v_1(a,\psi) + \varepsilon^2·v_2(a,\psi) + ...
    \end{array}\qquad (3) \)
Dónde \( u_i \quad ,\quad v_i \) son funciones periódicas (con periodo \( 2\pi\)) de la variable \( \psi \), y \( a(t)\; y\; \psi(t) \) valores no constantes que satisfacen las ecuaciones:
    \( \begin{array}{l}
    \dot{a} = \varepsilon·A_1(a) + \varepsilon^2·A_2(a) + ... \\
     \\
    \dot{\psi} = \varepsilon·B_1(a) + \varepsilon^2·B_2(a) + ...
    \end{array}\qquad (4)\)
Y \( A_i\; ,\; B_i \), deben ser determinadas de modo que (3) sea solución de (1). Lo anterior se aplica a aproximaciones en que aparezcan términos no seculares. El método puede simplificarse en gran manera haciendo un uso exhaustivo de la cuasi linealidad de \( f\; ,\; g \) y teniendo en cuenta lo siguiente:
(i) es suficiente asumir que \( f\; y\; g \) son analíticas en el círculo unidad (en vez de serlo en todo el plano)
(ii) cuándo \( u_i \:,\: v_i \; y \; A_i \) son lineales y \( B_i \) constante, pueden tomarse para (3) y (4) soluciones de la forma:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    u = a\left[\cos \psi + \varepsilon·u_1(\psi) + \varepsilon^2·u_2(\psi) + ...\right] \\
     \\
    v = a\left[-\sin \psi + \varepsilon·v_1(\psi) + \varepsilon^2·v_2(\psi) + ...\right]
    \end{array}\qquad (5) \)
    \( \begin{array}{l}
    \dot{a} = a\left(\varepsilon·A_1 + \varepsilon^2·A_2 + \cdots\right) \\
     \\
    \dot{\psi} = 1 + \varepsilon·B_1 + \varepsilon^2·B_2 + \cdots
    \end{array}\qquad\qquad (6) \)
Siendo \(A_i \quad y\quad B_i\)
(iii) para una función de la forma \( f(\cos \psi \; ,\; -\sin \psi ) \) el desarroyo en serie de Fourier implicará solo términos de la forma:
    \( \cos(2n+1) \psi \; ,\; \sin(2n+1) \psi \)
Como ahora f(u,v) y g(u,v) son de la forma:
    \( \begin{array}{l}
    f(u,v) = a·f(\cos \psi + \varepsilon·u_1 + \varepsilon^2u_2 + ... , -\sin \psi + \varepsilon·v_1 + \varepsilon^2v_2 + ...) \\
     \\
    g(u,v) = a·f(\cdots)
    \end{array} \)
Pueden desarrollarse en serie de Taylor en un entorno del punto \( \Omega = (\cos \psi , -\sin \psi) \) dentro del círculo unidad.
Llevando (5) y (6) y los anteriores desarrollos a (1) y comparando los coeficientes de \( \varepsilon , \varepsilon^2, ... \) en los dos miembros de la ecuación, resultarán en primera aproximación las ecuaciones:
    \( \begin{array}{l}
    A_1·\cos \psi - B_1·\sin \psi + \dot{u}_1 - v_1 = f(\Omega) \\
     \\
    A_1·\sin \psi - B_1·\cos \psi + \dot{v}_1 + u_1 = g(\Omega)
    \end{array}\qquad (7) \)
Teniendo \( f(\Omega) \) un desarrollo de Fourier de la forma:
    \( \displaystyle f(\Omega) = \sum_{n=0}^{\infty}\left[f_n·\cos (2n+1)\psi + F_n·\sin (2n+1)\psi\right] \)
Y análogamente \( g(\Omega) \).
También \( u_1 \quad y \quad v_1 \) tendrán desarrollos de Fourier de la forma:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    u_1 = \sum_{n=0}^{\infty} \left(\alpha_n·\cos n\psi + \beta_n·\sin n\psi\right) \\
     \\
    v_1 = \sum_{n=0}^{\infty} \left(\gamma_n·\cos n\psi + \delta_n·\sin n\psi\right)
    \end{array} \)
Por lo que podemos comparar en (7) los coeficientes de \( \cos n\psi \quad y \quad \sin n\psi \) de ambos miembros para obtener:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    A_1 = \frac{1}{2}(f_o - G_o) = \lambda\qquad ;\quad \beta_1 - \gamma_1 = \frac{1}{2}(f_o + G_o) \\
     \\
    B_1 = \frac{1}{2}(F_o + g_o) = \mu\qquad ;\quad \alpha_1 + \delta_1 = \frac{1}{2}(g_o - F_o)
    \end{array} \)
Dónde \( g_n \quad y \quad G_n \) son los coeficientes de Fourier de \( g(\Omega) \).
De ese modo, \( A_1 \quad y \quad B_1 \) son determinadas en función de \( \alpha_1 , \beta_1 , \gamma_1 \; y \; \delta_1 \) que pueden ser obtenidas en cuenta posteriores condiciones que son:
    \(\alpha_{2k} = \beta_{2k} =\gamma_{2k} = \delta_{2k} = 0 \)
Y por ejemplo:
    \( \displaystyle \alpha_{2k+1} = \frac{g_k - (2k+1)F_k}{4k(k+1)}\; ,\; \cdots \)
Que muestran que las series de \( u_1 \quad y \quad v_1 \) son convergentes.
De las ecuaciones:
    \( \dot{a} = \varepsilon·a·\lambda \qquad ;\qquad \dot{\psi} = 1 + \varepsilon·\mu \)
Resulta una primera aproximación para \( "a" \quad y \quad \psi \):
    \( a = a_o·\exp (\varepsilon \lambda t) \quad ; \quad \psi = (\psi_o + t) + \varepsilon \mu t \)
Siendo \( a_o\quad y \quad \psi_o \) constantes.
Y a partir de ellas pueden calcularse fácilmente \( u_1 \quad y \quad v_1 \)
Por ejemplo, sí:
    \( \displaystyle f = \frac{u^3}{u^2 + v^2} \qquad ; \qquad g = \frac{v^3}{u^2 + v^2} \)
Entonces:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    a = a_o·\exp (0,75·\varepsilon t) \quad ; \quad \psi = t + \psi_o \\
     \\
    u_1 = \alpha_1·\cos \psi + \beta_1·\sin \psi + \frac{1}{16}·\sin 3\psi \\
     \\
    v_1 = \beta_1·\cos \psi - \alpha_1·\sin \psi - \frac{1}{16}·\cos 3\psi
    \end{array} \)
Dónde \( \alpha_1 \quad y \quad \beta_1 \) son indeterminados.
La función:
    \( a = a_o·\exp (0,75·\varepsilon t) \)
Tendrá completa su amplitud en los modos fundamentales sí y solo sí \( \alpha_1 = 0 \) y asimismo estos modos fundamentales no llevarán fase variable sí \( \beta_1 = 0 \).
La primera aproximación será entonces la que sigue:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    u = a\left(\cos \psi + \frac{\varepsilon}{16}·\sin 3\psi\right) \quad ;\quad a = a_o·\exp (0,75\varepsilon t) \\
     \\
    v = a\left(-\sin \psi - \frac{\varepsilon}{16}·\cos 3\psi\right)\quad ;\quad \psi = t + t_o
    \end{array} \)
Y:
    \( \displaystyle r^2 = u^2 + v^2 = a^2\left(1 + \frac{\varepsilon}{8}·\sin 4\psi + \frac{\varepsilon^2}{256}\right) \)
Que está en buen acuerdo con la solución exacta dada en la forma:
    \( \displaystyle r^2 = a^2_o·\exp \left(\frac{3}{2}·\varepsilon t\right)·\left(1 + \frac{\varepsilon}{8}·\sin 4\psi +\theta(\varepsilon^2)\right) \)
Dando \( \alpha\simeq \psi \) dónde \( \tan \alpha = v/u \).
El cálculo de la segunda aproximación no tiene mayor dificultad. Aparte, ciencia de las series (5) y (6) queda pendiente.
Intercambiamos los anteriores valores de \( f \quad y \quad g \) puede probarse que las soluciones son periódicas (de periodo \( 2\pi \)), las órbitas son cerradas en la primera aproximación estudiada es:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    u = a_o·\cos \psi\qquad ;\qquad a_o = constante \\
     \\
    v = a_o(-1 + 0,75·\varepsilon)\sin \psi + \frac{5}{16}·\sin 3\psi \quad ;\quad \psi = t + t_o
    \end{array} \)
Dónde:
    \( \displaystyle u^2 + \frac{v^2}{(1 - 0,75·\varepsilon)^2} = a_o^2[1 + \theta(\varepsilon)] \)
Y en este caso las órbitas son aproximadamente elipses.

¿Te han sido de utilidad estos apuntes sobre perturbación de ecuaciones diferenciales lineales?.- ¡Recomiénda esta página!

Otros usuarios de Matemáticas y poesía también han visto:




Página publicada por: José Antonio Hervás