Si sustituimos n por 2, 3, 4, … en la
ecuación (Ec *) del capítulo anterior, llamaremos
a las series:
\( 3^3 - 2^3\;,\; 3^5 - 2^5\;,\; 3^7-2^7,\;,\; …\;,\; 3^p – 2^p \)
Serie de “
primos
de Mersenne de tipo 3-2”, a todos los
primos que resultan en la referida serie.
A la serie:
\( 4^3 - 3^3\;,\; 4^5 - 3^5\;,\; 4^7-3^7,\;,\; …\;,\; 4^p – 3^p \)
Serie de “
primos
de Mersenne de tipo 4-3”, a todos los
primos que resultan en la referida serie.
Y así sucesivamente.
Así, por ejemplo, antes de la expresión,
\( 3^{5003} - 2^{5003} \)
tenemos16 primos de Mersenne de tipo 3-2:
\( \begin{array}{l} 3^3-2^3 \;PRIMO\;;\; 3^5 - 2^5 \;PRIMO
\\ \\ 3^{17} - 2^{17} \;PRIMO\;;\; 3^{29} - 2^{29} \;PRIMO \\
\\ 3^{31}- 2^{31}\;PRIMO \;;\; 3^{53} - 2^{53} \;PRIMO \\ \\
3^{59} - 2^{59} \;PRIMO \;;\; 3^{101} - 2^{101} \;PRIMO \\ \\
3^{277}-2^{277} \;PRIMO\;;\; 3^{647} - 2^{647} \;PRIMO \\ \\
3^{1061} - 2^{1061} \;PRIMO\;;\;3^{2381} - 2^{2381} \;PRIMO \\ \\
3^{2833} - 2^{2833} \;PRIMO\;;\; 3^{3613} - 2^{3613} \;PRIMO \\\\
3^{3853} - 2^{3853} \;PRIMO\;;\;3^{3929} - 2^{3929} \;PRIMO
\\ \end{array} \)
Aquellos números p que, según lo visto en
Aplicaciones
de los residuos cuadráticos cumplan
al mismo tiempo:
\( q = 2·p + 1 = 7 \) (mod 8), \( q \) es un factor de
\( 2^p - 1 \)
\(q = 2·p + 1 = 11 \) (mod 12), \(q \) es un factor de
\( 3^p - 1\)
Son factores de\(3^p – 2^p \), Es decir:
\( \begin{array}{l} (11\Rightarrow 23)\;;\;(23\Rightarrow 47)\;;\;(83\Rightarrow
167)\;;\;(131\Rightarrow 263)\;;\; \\ (179\Rightarrow 359)\;;\;(191\Rightarrow
383)\;;\; (239\Rightarrow 479)\;;\; \\ (251\Rightarrow 503)\;;\;\cdots\;;\;(2399\Rightarrow
4799)\;;\; \cdots \\ \end{array}\)
Y son, los primeros números de cada par, primos de Sofie
Germain.
PRIMOS DE MERSENNE DEL TIPO 4-3
Antes de,\(4^{5003} - 3^{5003} \) tenemos:
La cantidad de 14 primeros primos de Mersenne de tipo 4-3:
\(\begin{array}{l} 4^3 - 3^3 PRIMO\;;\; 4^7 - 3^7 PRIMO\;\\\\
4^{17} - 3^{17} PRIMO\;;\;4^{59} - 3^{59} PRIMO\\\\
4^{283} - 3^{283} PRIMO; 4^{311} - 3^{311} PRIMO; \\\\
4^{383} - 3^{383} PRIMO\;;\; 4^{499} - 3^{499} PRIMO\\\\
4^{541} - 3^{541} PRIMO\;;\; 4^{521} - 3^{521} PRIMO\;\\\\
4^{599} - 3^{599} PRIMO\;;\; 4^{1193} - 3^{1193} PRIMO\; \\\\
4^{1993} - 3^{1993} PRIMO\;;\; 4^{2671} - 3^{2671} PRIMO \end{array}
\)
Aquellos números p que, según lo visto en
Aplicaciones
de los residuos cuadráticos cumplan:
\( q = 2·p + 1 = 11\) (mod 12), \( q \) es un factor de \( 3^p - 1\)
Son factores de \( 4^p – 3^p\) Pues para 4 tenemos: 4 =
2², con lo que dicho valor es residuo cuadrático para
todo primo > 3 y, por lo tanto, todos los números p
= (q-1)/2 que sean primos darán un valor múltiplo
de q para (4p-1)/3. Es decir:
\( \begin{array}{l}
(5\Rightarrow 11), (11\Rightarrow 23), (23\Rightarrow 47), \\
\\ (29\Rightarrow 59), (41\Rightarrow 83), (89\Rightarrow 179),\\
\\(113\Rightarrow 227), (131\Rightarrow 263), \\ \\(173\Rightarrow
347), (179\Rightarrow 359), …
\end{array}\)
Y, como en el caso anterior, los primeros números de cada
par, son todos ellos primos de Sofie Germain.