Estás en > Matemáticas y Poesía > Matemáticas

MONOGRAFIA MATEMÁTICAS - TEORÍA DE NÚMEROS

NÚMEROS DE MERSENNE GENERALIZADOS

NÚMEROS DE MERSENNE
DEL TIPO 3-2

Si sustituimos n por 2, 3, 4, … en la ecuación (Ec *) del capítulo anterior, llamaremos a las series:
    \( 3^3 - 2^3\;,\; 3^5 - 2^5\;,\; 3^7-2^7,\;,\; …\;,\; 3^p – 2^p \)
Serie de “primos de Mersenne de tipo 3-2”, a todos los primos que resultan en la referida serie.
A la serie:
    \( 4^3 - 3^3\;,\; 4^5 - 3^5\;,\; 4^7-3^7,\;,\; …\;,\; 4^p – 3^p \)
Serie de “primos de Mersenne de tipo 4-3”, a todos los primos que resultan en la referida serie.
Y así sucesivamente.
Así, por ejemplo, antes de la expresión,
    \( 3^{5003} - 2^{5003} \)
tenemos16 primos de Mersenne de tipo 3-2:
    \( \begin{array}{l} 3^3-2^3 \;PRIMO\;;\; 3^5 - 2^5 \;PRIMO \\ \\ 3^{17} - 2^{17} \;PRIMO\;;\; 3^{29} - 2^{29} \;PRIMO \\ \\ 3^{31}- 2^{31}\;PRIMO \;;\; 3^{53} - 2^{53} \;PRIMO \\ \\ 3^{59} - 2^{59} \;PRIMO \;;\; 3^{101} - 2^{101} \;PRIMO \\ \\ 3^{277}-2^{277} \;PRIMO\;;\; 3^{647} - 2^{647} \;PRIMO \\ \\ 3^{1061} - 2^{1061} \;PRIMO\;;\;3^{2381} - 2^{2381} \;PRIMO \\ \\ 3^{2833} - 2^{2833} \;PRIMO\;;\; 3^{3613} - 2^{3613} \;PRIMO \\\\ 3^{3853} - 2^{3853} \;PRIMO\;;\;3^{3929} - 2^{3929} \;PRIMO \\ \end{array} \)
Aquellos números p que, según lo visto en Aplicaciones de los residuos cuadráticos cumplan al mismo tiempo:
    \( q = 2·p + 1 = 7 \) (mod 8), \( q \) es un factor de \( 2^p - 1 \)
    \(q = 2·p + 1 = 11 \) (mod 12), \(q \) es un factor de \( 3^p - 1\)
Son factores de\(3^p – 2^p \), Es decir:
    \( \begin{array}{l} (11\Rightarrow 23)\;;\;(23\Rightarrow 47)\;;\;(83\Rightarrow 167)\;;\;(131\Rightarrow 263)\;;\; \\ (179\Rightarrow 359)\;;\;(191\Rightarrow 383)\;;\; (239\Rightarrow 479)\;;\; \\ (251\Rightarrow 503)\;;\;\cdots\;;\;(2399\Rightarrow 4799)\;;\; \cdots \\ \end{array}\)
Y son, los primeros números de cada par, primos de Sofie Germain.

PRIMOS DE MERSENNE DEL TIPO 4-3

Antes de,\(4^{5003} - 3^{5003} \) tenemos:
La cantidad de 14 primeros primos de Mersenne de tipo 4-3:

    \(\begin{array}{l} 4^3 - 3^3 PRIMO\;;\; 4^7 - 3^7 PRIMO\;\\\\
    4^{17} - 3^{17} PRIMO\;;\;4^{59} - 3^{59} PRIMO\\\\
    4^{283} - 3^{283} PRIMO; 4^{311} - 3^{311} PRIMO; \\\\
    4^{383} - 3^{383} PRIMO\;;\; 4^{499} - 3^{499} PRIMO\\\\
    4^{541} - 3^{541} PRIMO\;;\; 4^{521} - 3^{521} PRIMO\;\\\\
    4^{599} - 3^{599} PRIMO\;;\; 4^{1193} - 3^{1193} PRIMO\; \\\\
    4^{1993} - 3^{1993} PRIMO\;;\; 4^{2671} - 3^{2671} PRIMO \end{array} \)
Aquellos números p que, según lo visto en Aplicaciones de los residuos cuadráticos cumplan:
    \( q = 2·p + 1 = 11\) (mod 12), \( q \) es un factor de \( 3^p - 1\)
Son factores de \( 4^p – 3^p\) Pues para 4 tenemos: 4 = 2², con lo que dicho valor es residuo cuadrático para todo primo > 3 y, por lo tanto, todos los números p = (q-1)/2 que sean primos darán un valor múltiplo de q para (4p-1)/3. Es decir:
    \( \begin{array}{l}
    (5\Rightarrow 11), (11\Rightarrow 23), (23\Rightarrow 47), \\ \\ (29\Rightarrow 59), (41\Rightarrow 83), (89\Rightarrow 179),\\
    \\(113\Rightarrow 227), (131\Rightarrow 263), \\ \\(173\Rightarrow 347), (179\Rightarrow 359), …
    \end{array}\)
Y, como en el caso anterior, los primeros números de cada par, son todos ellos primos de Sofie Germain.

Otros usuarios de Matemáticas y poesía también han visto:




Página publicada por: José Antonio Hervás