Estás en > Matemáticas y Poesía > Matemáticas

MONOGRAFIA MATEMÁTICAS - TEORÍA DE NÚMEROS

NÚMEROS DE MERSENNE GENERALIZADOS

CARACTERIZACIÓN DE LOS NÚMEROS DE MERSENNE GENERALIZADOS

RESUMEN

Entre otras aportaciones, en estas notas damos una generalización de los llamados números de Mersenne.

DESARROLLO

Desde el siglo XVII en que vivió Marin Mersenne que fue quien estudió por primera vez y es conocido por los llamados números de Mersenne, cuya expresión matemática viene dada por:
    \(M_n = 2^n - 1\)
Si consideramos nuestro trabajo Factores primos de los números \(a^n + b^n \)”, podemos tomar la expresión:
    \((n+1)^p – n^p\)
De donde se deducen los números primos de Mersenne, simplemente sustituyendo n por 1 y p por los primos sucesivos.
    \(2^p – 1^p = 2^p – 1 \qquad(ecuación ^*)\)
Si consideramos aquí lo dicho en ALGUNAS APLICACIONES DE LOS RESIDUOS CUADRATICOS podemos obtener algunos números primos que son factores de los números de Mersenne y que coinciden con los llamados primos de Sofie Germain.
Las propiedades de los residuos cuadráticos nos permiten caracterizar algunos primos para los cuales es posible deducir a priori algún factor de \(2^p ±1\).
    \(p = 3(mod\quad 4)\Leftrightarrow 2p=6(mod\quad8)\Rightarrow q=2p+1=7(mod\quad 8) \)
Así, cuando el resto módulo 8 de un primo cualquiera \(q = 2·p +1\) sea igual a 7 será factor de un número de Mersenne.
Así, vemos que los números \(p\) tales que \( q=2p+1 \) son un factor primo de \( 2^p-1\) , son:
    q = 2*p + 1 = 2*3 + 1 = 7
    q = 2*p + 1 = 2*11 + 1 = 23
    q = 2*p + 1 = 2*23 + 1 = 47
    q = 2*p + 1 = 2*83 + 1 = 167
    q = 2*p + 1 = 2*131 + 1 = 263
    q = 2*p + 1 = 2*179 + 1 = 359
    q = 2*p + 1 = 2*191 + 1 = 383
    q = 2*p + 1 = 2*239 + 1 = 479
    q = 2*p + 1 = 2*251 + 1 = 503
    q = 2*p + 1 = 2*359 + 1 = 719
Y así sucesivamente.
Donde los números:
    3, 11, 23, 83, 131, 179, 191, 239, 251, 359, …
Pertenecen todos al conjunto de los números de Sofie Germain mientras que los números:
    7, 23, 47, 167, 263, 359, 383, 479, 503, 719, …
Son factores de números de Mersenne, y por tanto, menos el 7, (que si lo es), no son primos de Mersenne.
Tenemos así los llamados primos de Mersenne para los primos:
    2 , 3 , 5 , 7 , 13, 17, 19 , 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423,…
Es decir, los números:
    \( 2^2-1 = 3 \);
    \( 2^3-1 = 7\);
    \( 2^5-1 = 31\);
    \( 2^7-1 = 127 \);
    \( 2^{13}-1 = 8191\);
    \( 2^{17}-1 = 131071\);
    \( 2^{19}-1 = 524287\);
    \( 2^{31}-1 = 2147483647\);
    \( 2^{61}-1 = 2305843009213693951\);
    \( 2^{89}-1 = 618970019642690137449562111\);
    \(2^{107}-1 =162259276829213363391578010288127\) (33 dígitos)
    \(2^{127}-1 = ...\)(39 dígitos)
    \(2^{521}-1 = … \) (157 dígitos)

Para centrar el asunto, llamaremos a estos números "Primos de Mersenne del tipo 2"

BIBLIOGRAFIA


1.- J. A. Hervás, Factores primos de los números \(a^n + b^n \).

2.- J. A. Hervás, Aplicaciones de los residuos cuadráticos.



Otros usuarios de Matemáticas y poesía también han visto:




Página publicada por: José Antonio Hervás