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MONOGRAFIAS MATEMÁTICAS ~ TEORÍA DE NÚMEROS

JUGANDO CON PRIMOS

DE VUELTAS CON LOS REPUNIT Y OTROS NÚMEROS PECULIARES

Confieso que desde muy niño me han fascinado los primos. De pequeño, cuando iba al pueblo, a las Casillas, pedanía del municipio jiennense de Martos, (España) a visitar a los abuelos y demás familia.
Entonces, aguardaba expectante los días en que bajábamos, andando, desde el cortijo en el que vivían mis abuelos, en el Villar Bajo, hasta el barrio de la Doce Casas y el Cerro de los Ángeles para comer en casa de los tíos y jugar con los primos e ir a cazar saltamontes para pescar barbos en el rio Víboras, sobre el que algunos años después han construido un embalse que se ha tragado gran parte de los escenarios infantiles de mis correrías veraniegas.
Pero no es de esos primos de los que quiero hablar, sino de los primos que, quien más quien menos, todos, en la escuela, hemos tenido que pelear con esos y con otros muchos conceptos básicos de la aritmética.
Comenzaré refiriéndome a los primos REPUNIT (en inglés, repunit), que reciben este nombre los números cuyas cifras en expresión decimal son todas iguales a 1 y puede escribirse matemáticamente en la forma

    \( \displaystyle \frac{10^n - 1}{9} \)
donde n indica el número de cifras.
Se demuestra, por ejemplo en Factores primos especiales que n tiene que ser primo cuando la expresión anterior da un número primo.
Así pues, con referencia a la cuestión planteada en varios artículos sobre si existe una infinidad de primos cuyas cifras en expresión decimal son todas igual a 1, podemos decir que una condición necesaria, aunque no suficiente para que uno de tales números sea primo es que su número de cifras sea primo y, en todo caso, sus posibles factores serán de la forma 2m.p + 1 donde p es el número de cifras. De ese modo, para p < 100, tenemos:
    \( \displaystyle RP_2 = \frac{10^2 - 1}{9} = 11\Rightarrow PRIMO\)

    \( \displaystyle RP_3 = \frac{10^3 - 1}{9} = 111 = 3 \times 37\)

    \( \displaystyle RP_5 = \frac{10^5 - 1}{9} = 11111 = 41 \times 271\)

    \( \displaystyle RP_7 = \frac{10^7 - 1}{9} = 1111111 = 239 \times 4649\)

    \( \displaystyle RP_{11} = \frac{10^{11} - 1}{9} = 11111111111 = 21649 \times 513239\)

    \( \displaystyle RP_{13} = \frac{10^{13} - 1}{9} = 1111111111111 = 53 \times 79 \times 265371653\)

    \( \displaystyle RP_{17} = \frac{10^{17} - 1}{9} = 11111111111111111 = 2071723 \times 5363222357\)

    \( \displaystyle RP_{19} = \frac{10^{19} - 1}{9} = 1111111111111111111\Rightarrow PRIMO\)

    \( \displaystyle RP_{23} = \frac{10^{23} - 1}{9} = 11111111111111111111111\Rightarrow PRIMO\)

    \( \displaystyle RP_{29} = \frac{10^{29} - 1}{9} = 3191 \times 16763 \times 43037 \times 62003 \times 77843839397\)

    \( \displaystyle RP_{31} = \frac{10^{31} - 1}{9} = 2791 \times 6943319 \times 57336415063790604359\)

    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    RP_{37} = \frac{10^{37} - 1}{9} = \\
     \\
    \qquad = 2028119 \times 247629013 \times 2212394296770203368013 \\
    
    \end{array}\)

    \(\begin{array}{l} \displaystyle RP_{41} = \frac{10^{41} - 1}{9} = \\  \\ = 83 \times 1231 \times 538987 \times 201763709900322803748657942361 \end{array}\)

    \(\begin{array}{l} \displaystyle RP_{43} = \frac{10^{43} - 1}{9} = \\  \\ = 173 \times 1527791 \times 1963506722254397 \times 2140992015395526641 \end{array}\)

    \(\begin{array}{l} \displaystyle RP_{47} = \frac{10^{47} - 1}{9} = \\  \\ = 35121409 \times 316362908763458525001406154038726382279 \end{array}\)

    \(\begin{array}{l} \displaystyle RP_{53} = \frac{10^{53} - 1}{9} =107 \times 1659431\times \\  \\ = \times 1325815267337711173 \times 47198858799491425660200071\end{array}\)

    \(\begin{array}{l} \displaystyle RP_{59} = \frac{10^{59} - 1}{9} = 2559647034361 \times\\  \\ =\times \quad 4340876285657460212144534289928559826755746751 \end{array}\)

    \(\begin{array}{l} \displaystyle RP_{61} = \frac{10^{61} - 1}{9} =733 \times 4637 \times 329401 \times 974293 \times \\  \\ = \times 1360 682471 \times 106007173861643 \times 7061709990156159479 \end{array}\)

    \(\begin{array}{l} \displaystyle RP_{67} = \frac{10^{67} - 1}{9} = 493121 \times 79863595778924342083\times \\  \\ = \times 28213 380943176667001263153660999177245677 \end{array}\)

    \(\begin{array}{l} \displaystyle RP_{71} = \frac{10^{71} - 1}{9} =241573142393627673576957439049 \times\\  \\ = \times 45994811347886846310221728895223034301839 \end{array}\)

    \(\begin{array}{l} \displaystyle RP_{73} = \frac{10^{73} - 1}{9} =12171337159 \times 1855193842151350117\times \\  \\ = \times 49207341634646326934001739482502131487446637 \end{array}\)

    \(\begin{array}{l} \displaystyle RP_{79} = \frac{10^{79} - 1}{9} = 317 \times \\  \\ =6163 \times 10271 \times 307627 \times 49172195536083790769\\  \\ = \times 3660574762725521461 527140564875080461079917 \end{array}\)

    \(\begin{array}{l} \displaystyle RP_{83} = \frac{10^{83} - 1}{9} =\\  \\ = 367147378267 \times 9512538508624154373682136329 \times \\  \\ =\times 346895716385857804544741137394505425384477 \end{array}\)

    \(\begin{array}{l} \displaystyle RP_{89} = \frac{10^{89} - 1}{9} =497867 \times 103733951 \times \\  \\ = 104984505733\times 5078554966026315671444089 \times\\  \\ = \times 403513310 222809053284932818475878953159 \end{array}\)

    \(\begin{array}{l} \displaystyle RP_{97} = \frac{10^{97} - 1}{9} =12004721 \times \\  \\ = 846035731396919233767211537899097169 \times
    \\  \\ \times109399846855370537540339266842070119107662296580348039 \end{array}\)

Como para el caso de los números de Mersenne, se demuestra que para todos los primos p congruentes con 1 ó 13 ó 19 módulo 20, si q = 2p+1 es primo, el correspondiente repunit es compuesto. De ese modo se pueden obtener los factores para RP41, RP53 y RP761, respectivamente
    \( 2\times 41+1 = 83\;,\; 2\times 53+1 = 107 \quad y \quad 2\times 761+1 = 1523 \)
Como hemos dicho, todos los posibles factores de un REPUNIT son de la forma
    \( \displaystyle RP_p = 2 \times n \times p \)
Donde p es el primo que representa el REPUNIT correspondiente. Por ejemplo:
    \(\begin{array}{l} \displaystyle RP_7 = \frac{10^7 - 1}{9} = 1111111 = 239 \times 4649= \\  \\ \qquad \qquad = (2 \times 17 \times 7 + 1)(2^3 \times 83 \times 7 + 1) \end{array}\) \( \)
Si el número que representa al repunit es compuesto, éste será, como hemos dicho, un número compuesto, que estará formado por, al menos, tantos factores primos más uno como los que forman parte del exponente del repunit. Ejemplo, para el RP35, tenemos:
    \(\begin{array}{l} \displaystyle RP_{35} = 41 \times 71 \times 239 \times 271 \times 4649 \times 123551 \times 102598800232111471 = \\  \\ = (2^3 · 5 + 1)(2 · 5 · 7 + 1)( 2 · 7 · 17 + 1)(2^3 · 7 · 83 + 1) \times \\  \\\times (2 · 5^2 · 7 · 353 + 1) \times (2 · 3^2 · 5 · 7 · 3196639 · 50945771) \end{array}\)
donde tenemos:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    RP_5 =\frac{10^5 - 1}{9} = 41 \times 271= (2^3 · 5 + 1)(2 · 3^3 · 5 + 1)\\
     \\
    RP_7 =\frac{10^7 - 1}{9} = 239 \times 4649 = ( 2 · 7 · 17 + 1)(2^3 · 7 · 83 + 1)\\
    
    \end{array} \)
    \( \displaystyle \begin{array}{l}RP(5,7) = 71 \times 123551 \times 102598800232111471 = \\ (2 · 5 · 7 + 1)( 2 · 5^2 · 7 · 353 + 1)\times(2 · 3^2 · 5 · 7 · 3196639 · 50945771)\\ \\  \end{array} \)

Si bien es una cuestión abierta el saber si cantidad de repunit primos es infinita , no hay más primos repunit hasta el RP317 con 317 unos seguidos y no es hasta después de 1999, en posteriores investigaciones, cuando Haervey Dubner descubrió que RP49081 era un primo probable, y en octubre de 2000, Lew Baxter descubrió que el siguiente repunit primo probable es RP 86453 . En 2007 se encontraron los probables primos repunit RP 109297 (Bourdelais y Dubner) y R 270343 (Maksym Voznyy y Anton Budnyy). En 2021 se encontró el probable repunit primo es el RP 5794777 (Ryan Propper y Sergey Batalov).

Vamos a trastear ahora con los números de la forma:
    \( \displaystyle \frac{10^n + 1}{11} \)
Que son similares a los números repunit.
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Página publicada por: José Antonio Hervás