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MONOGRAFIAS MATEMÁTICAS ~ TEORÍA DE NÚMEROS

MÁS JUEGOS CON PRIMOS

MÁS PRIMOS CURIOSOS Y PINTORESCOS

Vamos a jugar ahora con números de la forma:
    \( \displaystyle \frac{10^p - 1}{3}\qquad (*) \)
Que son los repunit, salvo que ahora el denominador es 3 en vez de 9 y el número resultante es de la forma ,por ejemplo, para p = 13:
    \( \displaystyle \frac{10^13 - 1}{3}=3333333333333 \)
Que es un número totalmente intrascendente y anodino, salvo que es trivial que es divisible entre 3 y algo no tan evidente pero demostrado por nosotros en Factores primos especiales que todos sus factores primos distintos de 3 son de la forma:
    \(q = 2 \times m \times p +1 \)

Es decir:

    \( \begin{array}{l}
    3333333333333 = 3 \times 53 \times 79 \times 265 371653 \Rightarrow \\
     \\
    \Rightarrow( 2^2 \times 13+1)( 2 \times 3 \times 13+1)( 2^2 \times 7^2 \times 13 \times 104149
    \end{array}\)
Pues bien, veamos qué ocurre si sustituimos la expresión (*) por:
    \( \displaystyle \frac{10^n - 1}{3} - 2 = \frac{10^n - 7}{3} \)
Donde ahora el exponente no es un número primo. Tenemos:
    \( \begin{array}{l} 2\rightarrow \;31 \;es \;primo \\ 3\rightarrow \;331 \;es \;primo \\ 4\rightarrow \;3331 \;es \;primo \\ 5\rightarrow \;33331 \;es \;primo \\ 6\rightarrow \;333331 \;es \;primo \\ 7\rightarrow \;3333331 \;es \;primo \\ 8\rightarrow \;33333331 \;es \;primo \\ \end{array} \)
Si continuamos el proceso, los siguientes números curiosos con estas características, se tienen con las potencias 40, 50, 60 y 78 los valores resultantes son los primos curiosos.
    3333333333333333333333333333333333333331

    33333333333333333333333333333333333333333333333331

    333333333333333333333333333333333333333333333333333333333331

    33333333333333333333333333333333333333333333333333
    333333333333333333333331
    \( \displaystyle \frac{10^n - 13}{3} \)
Dando a n los valores 25 y 35 da los primos curiositos:
    \( \begin{array}{l} 25\rightarrow 3333333333333333333333329 \\  \\ 35\rightarrow 33333333333333333333333333333333329 \end{array} \)
En cambio la ecuación:
    \( \displaystyle \frac{10^n + 11}{3}\qquad (*) \)
Dando a n los valores 1, 2, 3, 6 y 46 da los primos curiositos:
    \( \begin{array}{l}
    1\rightarrow 7 \\
     \\
    2\rightarrow 37 \\
     \\
    3\rightarrow 337 \\
     \\
    6\rightarrow 333337 \\
     \\
    46\rightarrow 3333333333333333333333333333333333333333333337 \\
     \\
    
    \end{array} \)
La ecuación:
    \( \displaystyle \frac{10^{55} + 11}{21} \)
Que se deriva de (*) nos da directamente el número primo curioso:
    476190476190476190476190476190476190476190476190476191
Formado por la concatenación de 8 cadenas “476190” más una cadena “476191”.
De igual forma la expresión:
    \( \displaystyle \frac{10^{62} + 47}{21} \)
Da el primo curioso:
    476190476190476190476190476190476190476190476190476190
    4761907
Y la expresión:
    \( \displaystyle \frac{10^{94} + 59}{21} \)
Da el primo curioso:
    476190476190476190476190476190476190476190476190476190
    4761904761904761904761
O, por ejemplo, la expresión:
    \( \displaystyle \frac{10^{47} + 41}{3*137} \)
Da el primo curioso:
    243309002433090024330900243309002433090024331
Y la expresión:
    \( \displaystyle \frac{10^{95} + 41}{3*137} \)
Da el primo curioso:
    2433090024330900243309002433090024330900
    24330900243309002433090024330900243309002433090024331
Otras cadenas de primos curiosos son:
    900900900900900900900900900900900901
Formado por la concatenación de 11 cadenas “900” más una cadena “901” y que puede obtenerse de la ecuación:
    \( \displaystyle \frac{10^{2+3*n}+ 11}{111} \)
Al sustituir n por 12 y:
    \( \begin{array}{l}
    n =19 \; \Rightarrow 900900900900900900900900900900900900\\
    900900900900900900901 \Rightarrow PRIMO \\
     \\
    n= 35 \; \Rightarrow 900900900900900900900900900900900900\\
    \;900900900900900900900900900900900900900900900\\
    \;900900900900900900900901 \Rightarrow PRIMO \\
     \\
    n= 43 \; \Rightarrow 900900900900900900900900900900900900\\
    \;900900900900900900900900900900900900900900900\\
    \;900900900900900900900900900900900900900900900\\
    \;901\Rightarrow PRIMO \\
     \\
    n=45 \; \Rightarrow 900900900900900900900900900900900900\\
    \;900900900900900900900900900900900900900900900\\
    \;900900900900900900900900900900900900900900900\\
    \;900900901\Rightarrow PRIMO \\
     \\
    \end{array} \)
para los números 19, 35, 43 y 45. El siguiente exponente que da un primo es n = 116.

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Página publicada por: José Antonio Hervás