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MONOGRAFIAS MATEMÁTICAS ~ TEORÍA DE NÚMEROS

JUGANDO CON PRIMOS

OTROS PRIMOS CURIOSOS, PINTORESCOS Y PECULIARES

Siguiendo con el juego, vamos considerar en vez de la ecuación que nos generaba los repunit una de la forma:
    \( \displaystyle \frac{10^n + 1}{11}\qquad (*) \)
Donde n tiene que ser impar para que la división entre 11 sea un número entero. Además, Ya hemos dicho anteriormente que en Factores primos especiales se demuestra que n tiene que ser primo cuando la expresión anterior da un número primo. Por lo tanto, tenemos así sustituyendo n por los primos especificados:
    \( \begin{array}{l} 5\Rightarrow 9091 \;\Rightarrow\;\star\;91\\ \\ 7 \Rightarrow 909091\;\Rightarrow\;\star\star\; 91\\ \\ 19\Rightarrow 909090909090909091\;\Rightarrow\;\star\star\star\star\star\star\star\star\; 91\\ \\31 \Rightarrow \;\star\star\star\star\star\star\star\star\star\star\star\star\star\star\; 91\\ \\ 53\Rightarrow \star\star\star\star\star\star\star\star\star\star\star\star\star\star
    \star\star\star\star\star\star\star\star\star\star\star\;91 \\ \\ 67 \Rightarrow \star\star\star\star\star\star\star\star\star\star\star\star\star\star\star\star
    \star\star\star\star\star\star\star\star\star\star\star\star\star\star\star\star \;91 \\  \end{array} \)
Observamos que todos los números resultantes de (*), a partir del exponente 5, tienen la particularidad de contener :
    \( \displaystyle \frac{p-3}{2} \)

Grupos 90 concatenados al final con el grupo 91, por lo que vamos a elegir el criterio de representar a un primo de esas características en la forma \( \star_p \). Así pues, el siguiente número primo con estas características, que hemos encontrado es

    \( \displaystyle\star_{293} = \frac{10^{293}+ 1}{11}\)
Es decir un número primo cuya representación en base 10 es 145 grupos 90 seguidos de un grupo 91. Podemos decir de este número que realmente es un número curioso o número peculiar.
Tenemos, además, la curiosidad de que los números \( \star_7
\quad y\quad \star_{31} \) son pares superiores de sendos primos gemelos:
    \( \begin{array}{l}
    \star_7 = 909091 \Rightarrow 909089 \\ \\
    \star_{31} = 909090909090909090909090909091 \Rightarrow
    \\ \\\Rightarrow 909090909090909090909090909089 \\
    
    \end{array} \)
¿Serías tu capaz de encontrar dos números de esas características que cumplan esa propiedad?

Vamos considerar ahora una de la forma:
    \( \displaystyle \frac{100^n + 1}{101}\qquad (*) \)
Donde n tiene que ser primo para que la división entre 101 sea un número entero. Además, Ya hemos dicho anteriormente que en Factores primos especiales se demuestra que n tiene que ser primo cuando la expresión anterior da un número primo. Por lo tanto, tenemos así sustituyendo n por el primo 3:
    \( \displaystyle \frac{100^3 + 1}{101}=9901 \)
Sustituyendo n por los distintos primos,hasta llegar el primo p = 293 no tenemos otro valor de estructura semejante:

990099009900990099009900990099009900990099009900990099009900
990099009900990099009900990099009900990099009900990099009900
990099009900990099009900990099009900990099009900990099009900
990099009900990099009900990099009900990099009900990099009900
990099009900990099009900990099009900990099009900990099009900
990099009900990099009900990099009900990099009900990099009900
990099009900990099009900990099009900990099009900990099009900
990099009900990099009900990099009900990099009900990099009900
990099009900990099009900990099009900990099009900990099009900
99009900990099009900990099009900990099009901

¿Podrías tú encontrar el siguiente número primo que da un valor primo?

Una cuestión para pensar un ratito.

1
101
10101
1010101
101010101
10101010101
1010101010101
101010101010101
10101010101010101
1010101010101010101
101010101010101010101
10101010101010101010101
1010101010101010101010101
101010101010101010101010101
10101010101010101010101010101
1010101010101010101010101010101
101010101010101010101010101010101
10101010101010101010101010101010101
1010101010101010101010101010101010101
101010101010101010101010101010101010101
10101010101010101010101010101010101010101
1010101010101010101010101010101010101010101
101010101010101010101010101010101010101010101
10101010101010101010101010101010101010101010101
1010101010101010101010101010101010101010101010101

Todas las filas de esta figura tan peculiar tienen varias propiedades en común:
La primera, estar formadas por 1's y 0's aunque representan cantidades que números en notación decimal.
La segunda, que todas ellas se obtienen sustituyendo la n del exponente por un valor de serie de los números naturales:
    \( \displaystyle \frac{100^n - 1}{99}\qquad (\ast\ast) \)
La tercera, que solo el número 101, de los reprentados es un número primo.
    LA cuestión:
      ¿Existe algún número primo con esas características?
    La respuesta:
      Tristemente NO.
Veamos:
Hemos dicho que los números que forman cada fila se obtienen de (**) por sustitución del exponente n por un número natural. En esas condiciones se tiene:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \frac{100^n - 1}{99} = \frac{[10^2]^n - 1}{99} = \frac{[10^n]^2 - 1}{99} = \\
    \\
    \frac{(10^n + 1)(10^n - 1)}{99} = \frac{10^n + 1}{11}\times \frac{10^n - 1}{9} \\

    \end{array} \)
Y puesto que cada número esta formado por 2 factores, es evidente que no será primo.
Solo nos queda, en relación con esta cuestión ver si, además del número primo 19, alguno más que cumpla:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \frac{100^{19} - 1}{99} = 909090909090909091\times \\
     \\
    \times 1111111111111111111
    \end{array}\)
Sabemos que una condición necesaria, pero no suficiente, es que el número sea un repunit, como el primo 23, ya que para este se cumple:
    \( \displaystyle\begin{array}{l}
    \frac{100^{23} - 1}{99} = 47 \times 139 \times 2531 \times 549797184491917 \times\\
     \\
    \times 11111111111111111111111
    \end{array} \)
Igualmente ocurre con RP317.
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Página publicada por: José Antonio Hervás