Estás en > Matemáticas y Poesía > Matemáticas

MONOGRAFIAS MATEMÁTICAS ~ TEORÍA DE NÚMEROS

JUEGOS CON PRIMOS

A VUELTAS CON LOS CAPICUAS Y OTROS PRIMOS PRIMOROSOS


Los números primos capicúas han dado mucho juego y con nosotros un poco más.
Por otra parte, también es muy popular la definición de los pares de números "primo-omirp", o primos reversibles, que son aquellos en los que uno se forma invirtiendo las cifras del otro y que ambos son primos, como los pares 199 y 991, 7589 y 9857.
Por ejemplo, 13 es omirp, pues 31 es primo (y distinto de 13), pero 101 no lo es, al ser un capicúa o primo palindrómico.

PRIMOS CAPICÚA

Son números capicúa que además tienen la propiedad de ser primos. El más pequeño es el 11, pues los de una cifra, el 3, el 5 y el 7 son primos capicúa triviales, los que le siguen son 101, 131, 151, 181 y 191. Y así sucesivamente hasta en infinito y más allá. Por Ejemplos de primos capicúas o palíndromos (hasta 100.000) son:

11, 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 919, 929, 10301, 10501, 10601, 11311, 11411, 12421, 12721, 12821, 13331, 13831, 13931, 14341, 14741, 15451, 15551, 16061, 16361, 16561, 16661, 17471, 17971, 18181, 18481, 19391, 19891, 19991, 30403, 30703, 30803, 31013, 32323, 32423, 33533, 34543, 34843, 35053, 35153, 35353, 35753, 36263, 36563, 37273, 37573, 38083, 38183, 38783, 39293, 71317, 71917, 72727, 73037, 73237, 73637, 74047, 74747, 76367, 76667, 77377, 77477, 78487, 78787, 78887, 79397, 79697, 79997, 90709, 91019, 93139, 93239, 93739, 94049, 94349, 94649, 94849, 94949, 95959, 96269, 96469, 96769, 97379, 97579, 97879, 98389, 98689.

Igualmente que para el caso de los primos gemelos se define la constante de Brun \( (B_2) \), que es el valor al que converge la suma de los inversos de los números primos gemelos:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    B_2 = \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{5}\right)+ \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7}\right)+ \left(\frac{1}{11} + \frac{1}{13}\right)+\\
     \\
    \left(\frac{1}{17} + +\frac{1}{19}\right)+\left(\frac{1}{29} + \frac{1}{31}\right)+ \cdots \approx 1,902160583104
    \end{array} \)
En 1919 Viggo Brun demostró la convergencia de la serie. Este hecho contrasta con la circunstancia de que la suma de los inversos de todos los números primos diverge.

Y para primos cuádruples, que son aquellas parejas de primos gemelos separados por 4 unidades (la distancia más pequeña posible) y de los cuales los primeros primos cuádruples son (5, 7, 11, 13), (11, 13, 17, 19) y (101, 103, 107, 109), se define la constante, \( B_4 \), de los primos cuádruples como la suma de los inversos de todos los primos cuádruples:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    B_4 = \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7} + \frac{1}{11}+ \frac{1}{13}\right)+ \left(\frac{1}{11} + \frac{1}{13} + \frac{1}{17} + \frac{1}{19}\right)+ \\
     \\
    + \left(\frac{1}{101} + \frac{1}{103} + \frac{1}{107} + \frac{1}{109}\right) + \cdots \approx 0,8705883800
    \end{array} \)
Podemos definir también una constante para los palíndromos o primos capicúas, calculando la suma de sus inversos en la siguiente forma:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \frac{1}{11} = 0,0909090909090909 = K_1\\
     \\
    K_1 + \frac{1}{101}+ \cdots + \frac{1}{797} = 0,14236820285318583 = K_2\\
     \\
    K_2 + \frac{1}{919} +\cdots + \frac{1}{12821} =0,14523256637799334 = K_3\\
     \\
    K_3 + \frac{1}{13331} + \cdots + \frac{1}{34843} =0,14661532678951936 = K_4\\
     \\
    K_4 + \frac{1}{35053} + \cdots + \frac{1}{98689} = 0,14737737049237890
    \end{array}\)
Es fácil comprobar que no hay primos capicúas que tengan un número par de dígitos exceptuando el 11, pues todos los demás son múltiplos de éste.
Según demostramos en el artículo Criterios de Divisibilidad
    "Un número es divisible por 11 cuando la diferencia entre la suma de las cifras pares y las impares es múltiplo de 11 o cero"
De esa forma,por ejemplo, para un número capicúa de 6 cifras, tendremos
    \( C = abccba \)
Y aplicando la regla de divibilidad enmerada:
    \( (a+c+b)- (b+c+a) = 0 \Rightarrow\quad 11 | C \)
Siguiendo esta misma deducción se deduce la afirmación dicha.
    "No existen primos capicúas de un número par de cifras"

Un grupo o familia de primos capicúa, de él que aún hoy día se buscan componentes es el de los primos dados por la expresión:
    \( \displaystyle \frac{10^p - 1}{9} \)
Llamados primos repunit, entre los que se encuentran el propio 11 y los primos:
1111111111111111111

y

11111111111111111111111
    entre otros
  • También tenemos el número primo de Belfegor,

    1000000000000066600000000000001

    llamado así por sus referencias al número de la bestia, 666 o sus acólitos:
    76667
    700666007
    700000666000007
    70000006660000007

    y principalmente, el primo diabólico:

    \(7\times10^{100} + 666\times10^{48} + 7\)

    Donde aparece el número de la bestia (666) precedido y seguido por 48 0’s y dos 7, uno a cada lado a modo de centinelas Por eso de que Satanás, siendo un ser espiritual y no obstante estar opuesto a la Palabra de Dios también posee el número 7 como uno de sus atributos.



    A modo de pirámides de primos capicúas vamos a poner unos cuantos ejemplos y a proponeros un reto con ellos. Comenzamos con el número 131:


    131
    13331
    1333331

    tres primos capicúas de 95, 161 y 361 dígitos:

      \(\displaystyle \frac{(12\times10^{94} -21)}{9} \)

      \(\displaystyle \frac{(12\times10^{160} -21)}{9} \)

      \(\displaystyle \frac{(12\times10^{360} -21)}{9} \)

    Donde , en cada fórmula aparece el número 1 a ambos lados a modo de colunmas seguidos por 93 , 159 y 359 "3".

    Seguimos con el número 141:
    1444441

    \(\displaystyle \frac{13\times 10^{66} - 31}{9} \)


    Siendo aquí el segundo primo capicúa un número formado por un 1 seguidos de 65 cuatros y culminado con otro 1.
    Veamos ahora con el número 151,
    151
    15551
    1555551
    155555555555555555551
    155555555555555555555555555555551

    Y dos primos capicúas de 401 y 563 dígitos cada uno:

      \(\displaystyle \frac{14\times 10^{400}- 41}{9} \)

      \(\displaystyle \frac{14\times 10^{562} - 41}{9} \)

    Donde , en cada una de las fórmulas desarrolladas aparece el número 1 a ambos lados a modo de colunmas seguidos por 399 y 561 "5", respectivamente.

    Seguimos con el número 161:
    16661
    1666666666661
    16666666666666661
    1666666666666666661
    1666666666666666666666666666666666661
    16666666666666666666666666666666666666666666666666661

    \( \displaystyle\frac{15\times 10^{72}- 51}{9}\)

    \( \displaystyle\frac{15\times 10^{100}- 51}{9}\)

    Siendo aquí las dos últimas expresiones dos primos capicúas, el primero formado por un 1 seguido por setenta y una veces un 6 y otro 1 y el segundo formado por otro 1 seguido por noventa y nueve veces un 6 y otra vez 1.


    Para el 171, tenemos:
    1777771
    1777777777777777777777777777777777777777777777771


    \( \displaystyle\frac{16\times 10^{102}- 61}{9}\)

    \( \displaystyle\frac{16\times 10^{192}- 61}{9}\)

    \( \displaystyle\frac{16\times 10^{366}- 61}{9}\)

    Siendo aquí las tres últimas expresiones tres primos capicúas, el primero formado por un 1 seguido por ciento un sietes terminando otro 1, el segundo formado por otro 1 seguido por ciento noventa y uno sietes y otro 1 y el tercero formado por otro 1 seguido por trescientos sesenta y cinco sietes y otro 1


    Para el 181, tenemos:
    181
    188888881
    188888888888881
    18888888888888888888888888888888888888881

    \( \displaystyle\frac{17\times 10^{92}- 71}{9}\)

    \( \displaystyle\frac{17\times 10^{128}- 71}{9}\)

    \( \displaystyle\frac{17\times 10^{884}- 71}{9}\)

    Siendo aquí las tres últimas expresiones tres primos capicúas, el primero formado por un 1 seguido por noventa ohos terminando otro 1, el segundo formado por otro 1 seguido por ciento veintiseis ochos y otro 1 y el tercero formado por otro 1 seguido por ochocientos ochenenta y cuatro ochos y otro 1


    Para el 191, tenemos:
    191
    19991
    199999991
    19999999999999999999999999999999999999991


    \( \displaystyle\frac{ 10^{87}- 45}{5}\)

    \( \displaystyle\frac{ 10^{201}- 45}{5}\)

    \( \displaystyle\frac{ 10^{731}- 45}{5}\)

    Siendo aquí las tres últimas expresiones tres primos capicúas, el primero formado por un 1 seguido por ochenta y cinco nueves terminando otro 1, el segundo formado por 1 seguido por doscientos uno nueves y otro 1 y el tercero formado también por otro 1 seguido por setecientos treinta y un nueves y otro 1.
    Para el 313, tenemos:
    313
    3111111111113
    311111111111113
    3111111111111111111111111111113

    \( \displaystyle\frac{28\times 10^{104}+ 17}{9}\)


    \( \displaystyle\frac{28\times 10^{126}+ 17}{9}\)


    \( \displaystyle\frac{28\times 10^{342}+17}{9}\)


    \( \displaystyle\frac{28\times 10^{600}+17}{9}\)


    Siendo aquí las cuatro últimas expresiones cuatro primos capicúas, el primero formado por un 3 seguido por ciento dos unos terminando otro 3, el segundo formado por 3 seguido por ciento veinticuatro unos y otro 3 el tercero formado también por otro 3 seguido por trescientos cuarenta unos y otro 3 y el cuarto formado también por otro 3 seguido por quinientos noventa y ocho unos y finalizando otro 3.
Para el 323, tenemos:
3222223
322222223


\(\displaystyle\frac{29\times 10^{894}+ 7}{9}\)

Donde la última expresión es un primo capicúa, formado por un 3 seguido por ochocientos noventa y tres veces un 2 y otro 3.
Para el 343, tenemos:
3444443
3444444444443

\(\displaystyle\frac{31\times 10^{492}- 13}{9}\)

Donde la última expresión es un primo capicúa, formado por un 3 seguido por cuatrocientos noventa y una veces un 4 y otro 3.

El 353, nos da:

353
355555553

\(\displaystyle\frac{32\times 10^{140}- 23}{9}\)


\(\displaystyle\frac{32\times 10^{230} - 23}{9}\)


\(\displaystyle\frac{32\times 10^{426} - 23}{9}\)


\(\displaystyle\frac{32\times 10^{462} - 23}{9}\)


\(\displaystyle\frac{32\times 10^{726}- 23}{9}\)

Siendo aquí las cinco últimas expresiones otro tantos primos capicúas, el primero formado por un 3 seguido por ciento treinta y ocho cincos terminando con otro 3, el segundo formado por 3 seguido por doscientos veintiocho cinos y otro 3 el tercero formado también por otro 3 seguido por cuatrocientos veiticinco cincos y otro 3 , el cuarto formado también por otro 3 seguido por cuatrocientos sesenta y uno cincos y finalizando otro 3 y terminando, el quinto primo capicúa construido colocando un 3 seguido de setecientas veinticinco cincos y un 3, al final.

Del 373 tenemos:

373
377777777777773
3777777777777777777777777777777777777777777777777777773


\(\displaystyle\frac{34\times 10^{68}- 43}{9}\)


\(\displaystyle\frac{34\times 10^{84}- 43}{9}\)


\(\displaystyle\frac{34\times 10^{86}- 43}{9}\)


\(\displaystyle\frac{34\times 10^{156}- 43}{9}\)

Donde las cuatro últimas expresiones se coresponden con cuatro primos capicúas, el primero formado por un 3 seguido por sesenta y siete sietes terminando con otro 3, el segundo formado por un 3 seguido por ochenta y tres sietes y un 3 el tercero formado también por otro 3 seguido por ochenta y cinco sietes y otro 3 y el cuarto formado también por otro 3 seguido por ciento cincuenta y cinco sietes y finalizando otro 3.

Del 383 resulta:

3888888888883
3888888888888888888888888888883
3888888888888888888888888888888888888888888888888888888888883


\(\displaystyle\frac{35\times 10^{116}- 53}{9}\)


\(\displaystyle\frac{35\times 10^{290}- 53}{9}\)


\(\displaystyle\frac{35\times 10^{632}- 53}{9}\)

Siendo aquí las tres últimas expresiones otros tres primos capicúas, el primero formado por un 3 seguido por ciento quince ochos terminando otro 3, el segundo formado por 3 seguido por doscientos ochenta y nueve ochos y otro 3 y el tercero formado también por otro 3 seguido por seiscientos treinta y un ochos y otro 3.
Para el 727, tenemos:
727
72227
722222227
72222222222222222222222222227


\(\displaystyle\frac{65\times 10^{64}+ 43}{9}\)


\(\displaystyle\frac{65\times 10^{724}+43}{9}\)
Siendo aquí las dos últimas expresiones dos primos capicúas, el primero formado por un 7 seguido por sesenta y tres veces un 2 y otro 7 y el segundo formado por otro 7 seguido por setecientas veinticinco veces un 2 y otra vez 7.

Para el 747, nos queda:
74444444447
7444444444444444444444444444447

\(\displaystyle\frac{67\times 10^{120}+ 23}{9}\)


\(\displaystyle\frac{67\times 10^{484}+23}{9}\)

Siendo aquí las dos últimas expresiones dos primos capicúas, el primero formado por un 7 seguido por ciento diez y nieve cuatros y otro 7 y el segundo formado por otro 7 seguido por cuatrocientas ochenta y cinco veces un 4 y otra vez 7.

Para el 757, nos queda:

75557
75555555557
755555555555555555557
75555555555555555555557
75555555555555555555555555555555555555555555555555555555557


\(\displaystyle\frac{68\times 10^{74}+ 13}{9}\)

\(\displaystyle\frac{68\times 10^{82}+13}{9}\)

\(\displaystyle\frac{68\times 10^{208}+13}{9}\)

\(\displaystyle\frac{68\times 10^{350}+13}{9}\)
Donde las cuatro últimas expresiones se coresponden con cuatro primos capicúas, el primero formado por un 7 seguido por setenta y tres cincos terminando con otro 7, el segundo formado por un 7 seguido por ochenta y un cincos y un 7 el tercero formado también por otro 7 seguido por doscientos siete cincos y otro 7 y el cuarto formado también por otro 7 seguido por trescientos cuarenta y nueve cincos y finalizando otro 7.

Del 767 resulta:

76667
7666667
7666666666666666666666666666666666666666666666666666667


\(\displaystyle\frac{69\times 10^{96}+ 3}{9}\)

\(\displaystyle\frac{69\times 10^{454}+3}{9}\)

\(\displaystyle\frac{69\times 10^{574}+3}{9}\)
Siendo aquí las tres últimas expresiones otros tres primos capicúas, el primero formado por un 7 seguido por noventa y cinco seises terminando otro 7, el segundo formado por 7 seguido por cuatrocientos cincuenta y tres seises y otro 7 y el tercero formado también por otro 7 seguido por quinientos setenta y tres seises y otro 3.
Para el 787, tenemos:

787
78887


\(\displaystyle\frac{71\times 10^{86}-17}{9}\)

\(\displaystyle\frac{71\times 10^{112}-17}{9}\)

\(\displaystyle\frac{71\times 10^{170}-17}{9}\)

\(\displaystyle\frac{71\times 10^{566}-17}{9}\)

Donde las cuatro últimas expresiones se coresponden con cuatro primos capicúas, el primero formado por un 7 seguido por ochenta y cinco ochos terminando con otro 7, el segundo formado por un 7 seguido por ciento once ochos y un 7 el tercero formado también por otro 7 seguido por ciento sesenta y nueve ochos y otro 7 y el cuarto formado también por otro 7 seguido por quinientas sesenta y seis ochos y finalizando otro 7.

Del 797 resulta:

797
79997
79999999999999999999999999997

\(8\times 10^{156}-3\)

\(8\times 10^{352}-3\)

Siendo aquí las dos últimas expresiones dos primos capicúas, el primero formado por un 7 seguido por ciento cincuenta y cinco veces un 9 y otro 7 y el segundo formado por otro 7 seguido por trescientas cincuenta y una veces un 9 y otra vez 7.

Consideramos, finalmente los números 919 , 929 y 989

919

\(\displaystyle\frac{82\times 10^{246}+ 71}{9}\)

Donde la fórmula nos da un primo capicúa formado por un 9 seguido por doscientos cuarenta y cinco unos y culminado con otro 9.

929
9222229
9222222222229

\(\displaystyle\frac{83\times 10^{110}+ 61}{9}\)

Donde la fórmula nos da un primo capicúa formado por un 9 seguido por ciento nueve doses y culminado con otro 9.

9888889


\(\displaystyle\frac{89\times 10^{72}+ 1}{9}\)


\(\displaystyle\frac{89\times 10^{96}+ 1}{9}\)


\(\displaystyle\frac{89\times 10^{114}+ 1}{9}\)


\(\displaystyle\frac{89\times 10^{204}+ 1}{9}\)

Donde las cuatro últimas expresiones se coresponden con cuatro primos capicúas, el primero formado por un 9 seguido por setenta y uno ochos terminando con otro 9, el segundo formado por un 9 seguido por noventa y cinco ochos y un 9 el tercero formado también por otro 9 seguido por ciento trece ochos y otro 9 y el cuarto formado también por otro 9 seguido por doscientas tres ochos y finalizando otro 9.

No tenemos ningun primo capicúa para los trios:

    \(\begin{array}{l} 121 \Rightarrow son\; sucesivamente\; múltiplos\; de\;11 \\  \\ 717 \Rightarrow https://stdkmd.net/nrr/7/71117.htm\\  \\ 737 \Rightarrow son\; sucesivamente\; múltiplos\; de\;11\\  \\ 949 \Rightarrow son\; secuencialmente \;múltiplos\; de\;13 , 3 ,7\\  \\ 959 \Rightarrow son\; secuencialmente \; múltiplos\; de\; 7 , 3 , 13\\  \\ 979 \Rightarrow son\; sucesivamente\; múltiplos\; de\;11 \\  \\ \end{array}\)

 


1003001
100030001
10000000000300000000001
10000000000000300000000000001
100000000000000030000000000000001

1008001
1000008000001
1000000008000000001
100000000000080000000000001
10000000000000000800000000000000001

78787
787878787878787878787
787878787878787878787878787
\(7878787878787878787878787878\overbrace{78}7\)

el último de estos primos capicúas tan peculiares está formado por 47 parejas "78" terminando con el dígito "7".


Por último, vamos a terminar el artículo haciendo una referencia a la relación de los primos capicúas con el arte.
Esta obra titulada "Family vacation" (2016), es de la artista estadounidense Xylor Jane, en la que pueden apreciarse dos columnas de 13 números, de 11 dígitos cada uno de ellos, que resultan ser números capicúas primos con 11 dígitos, que solo contienen 2 de los 10 dígitos básicos, a saber:
11115151111
11117771111
11119991111
11141414111
11151115111
11155555111
11188888111
11199199111
11414441411
11511111511
11881818811
11991119911
12121212121
12222122221
13111311131
13113131131
13131113131
13331113331
14111111141
14141414141
17777177771
18111111181
18118881181
18818181881
19199999191
Otros usuarios de Matemáticas y poesía también han visto:




Página publicada por: José Antonio Hervás