APLICACIONES DE LA FUNCIÓN DE GREEN
Calcular la función de Green y la solución del
problema siguiente
\( u^{\prime\prime} + u = \sin x \quad ;\quad 0 < x <
1 \)
Con:
\( u(0) = 0 \quad ;\quad u(1) = 0 \)
RESPUESTA
De las condiciones de contorno obtenemos:
\( \mu_1 = 0 \quad ;\quad \sigma_1 = 1 \quad ; \quad \mu_2 =
0 \quad ; \quad \sigma_2 = 1 \)
La ecuación ya está escrita en forma autoadjunta.
Dos soluciones linealmente independientes de la ecuación
homogénea son:
\( v_1(x) = \cos x \quad;\quad v_2(x) = \sin x \)
Por lo cual:
\( D \equiv v_1(\alpha)·v_2(\beta) - v_2(\alpha)·v_1(\beta)=
\sin 1 - 0 \neq 0 \)
Por lo tanto, la solución del problema es única
y podemos expresarla mediante la función de Green, \( G(x,\xi)
\), qué a de satisfacer las siguientes condiciones:
a) verificar la ecuación homogénea del enunciado
con respecto a x:
\( \displaystyle \frac{d^2}{dx^2}[G(x,\xi)] + G(x,\xi)= 0 \Rightarrow
C_1(\xi)·\cos x + C_2(\xi)·\sin x \)
b) cumplir las condiciones de contorno:
\( \begin{array}{l}
G(0,\xi) = C_1(\xi) = 0 \Rightarrow G(x,\xi)= C_2(\xi)·\sin
x = \\
\\
= K_1(\xi)·\sin x \quad ; \quad x \leq \xi \\
\\
G(1,\xi) = C_1(\xi)·\cos 1 + C_2(\xi)·\sin 1 =
0 \Rightarrow\\
\\
\Rightarrow C_1(\xi) = - C_2(\xi)·\tan 1 \Rightarrow
\\
\\
G(x,\xi) = - C_2(\xi)·\tan(1)·\cos x + C_2(\xi)·\sin
x =\\
\\
= K_2\Big[\tan(1)·\cos x - \sin x \Big]\quad ; \quad
x \geq \xi \\
\end{array} \)
Además, por la condición de simetría, tenemos:
\( K_1 = A \Big[\tan(1)·\cos(\xi) - \sin(\xi) \Big] \quad
;\quad K_2 = A· \sin (\xi) \)
Y por la discontinuidad en las derivadas:
\( \displaystyle \begin{array}{l}
-K_2\Big[\tan(1)·\sin(\xi) + \cos(\xi)\Big]- K_1·\cos(\xi)
= -1\Rightarrow \\
\\
A·\sin(\xi)·\Big[\tan(1)·\sin(\xi) + \cos(\xi)\Big]
+ \\
\\
+ A\Big[\tan(1)·\cos(\xi) - \sin(\xi)\Big]\cos(\xi) =
-1\Rightarrow A = \frac{1}{\tan(1)} \\
\end{array} \)
Sustituyendo el valor de A:
\( \displaystyle K_1= \frac{1}{\tan(1)}\Big[\tan(1)·\cos(\xi)
- \sin(\xi)\Big] \quad ; \quad K_2 = \frac{\sin(\xi)}{\tan(1)}
\)
Con lo que la función de Green será:
\( \displaystyle G(x,\xi) =\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\sin x}{\tan(1)}\Big[\tan(1)·\cos(\xi) - \sin(\xi)\Big]\qquad
para \quad x \leq \xi \\
\\
\frac{\sin \xi}{\tan(1)}\Big[\tan(1)·\cos(x) - \sin(x)\Big]\qquad
para \quad x \geq \xi \\
\\
\end{array}
\right. \)
La solución del problema vendrá daba entonces por:
\( \displaystyle u(x) = - \int_0^1 G(x,\xi)·\sin(\xi)·d\xi
\)
Sustituyendo el valor de \(G(x,\xi) \):
\( \displaystyle \begin{array}{l}
u(x) = - \frac{\tan(1)·\cos(x) - \sin(x)}{\tan(1)}\int_0^x
\sin^2 (\xi)·d\xi - \\
\\
- \frac{\sin x}{\tan 1}\int_x^1\Big[\tan(1)·\cos(\xi)
- \sin(\xi)\Big]\sin(\xi)·d\xi = \\
\\
= - \frac{\tan(1)·\cos(x) - \sin(x)}{\tan(1)}\left[\frac{1}{2}·\xi
- \frac{\sin 2\xi}{4}\right]_0^x - \\
\\
- \frac{\sin x}{\tan(1)}\left[\frac{\tan\tan(1)}{2}·\sin^2\xi
- \frac{1}{2}·\xi + \frac{\sin 2\xi}{4}\right]_x^1 \\
\end{array} \)