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MONOGRAFIAS MATEMÁTICAS ~ TEORÍA DIFERENCIAL

UNA APLICACIÓN DE
LA FUNCIÓN DE GREEN

APLICACIONES DE LA FUNCIÓN DE GREEN


Calcular la función de Green y la solución del problema siguiente
    \( u^{\prime\prime} + u = \sin x \quad ;\quad 0 < x < 1 \)
Con:
    \( u(0) = 0 \quad ;\quad u(1) = 0 \)

RESPUESTA


De las condiciones de contorno obtenemos:
    \( \mu_1 = 0 \quad ;\quad \sigma_1 = 1 \quad ; \quad \mu_2 = 0 \quad ; \quad \sigma_2 = 1 \)
La ecuación ya está escrita en forma autoadjunta. Dos soluciones linealmente independientes de la ecuación homogénea son:
    \( v_1(x) = \cos x \quad;\quad v_2(x) = \sin x \)
Por lo cual:
    \( D \equiv v_1(\alpha)·v_2(\beta) - v_2(\alpha)·v_1(\beta)= \sin 1 - 0 \neq 0 \)
Por lo tanto, la solución del problema es única y podemos expresarla mediante la función de Green, \( G(x,\xi) \), qué a de satisfacer las siguientes condiciones:
a) verificar la ecuación homogénea del enunciado con respecto a x:
    \( \displaystyle \frac{d^2}{dx^2}[G(x,\xi)] + G(x,\xi)= 0 \Rightarrow C_1(\xi)·\cos x + C_2(\xi)·\sin x \)
b) cumplir las condiciones de contorno:
    \( \begin{array}{l}
    G(0,\xi) = C_1(\xi) = 0 \Rightarrow G(x,\xi)= C_2(\xi)·\sin x = \\
     \\
    = K_1(\xi)·\sin x \quad ; \quad x \leq \xi \\
     \\
    G(1,\xi) = C_1(\xi)·\cos 1 + C_2(\xi)·\sin 1 = 0 \Rightarrow\\
     \\
    \Rightarrow C_1(\xi) = - C_2(\xi)·\tan 1 \Rightarrow \\
     \\
    G(x,\xi) = - C_2(\xi)·\tan(1)·\cos x + C_2(\xi)·\sin x =\\
     \\
    = K_2\Big[\tan(1)·\cos x - \sin x \Big]\quad ; \quad x \geq \xi \\
    
    \end{array} \)
Además, por la condición de simetría, tenemos:
    \( K_1 = A \Big[\tan(1)·\cos(\xi) - \sin(\xi) \Big] \quad ;\quad K_2 = A· \sin (\xi) \)
Y por la discontinuidad en las derivadas:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    -K_2\Big[\tan(1)·\sin(\xi) + \cos(\xi)\Big]- K_1·\cos(\xi) = -1\Rightarrow \\
     \\
    A·\sin(\xi)·\Big[\tan(1)·\sin(\xi) + \cos(\xi)\Big] + \\
     \\
    + A\Big[\tan(1)·\cos(\xi) - \sin(\xi)\Big]\cos(\xi) = -1\Rightarrow A = \frac{1}{\tan(1)} \\
    
    \end{array} \)
Sustituyendo el valor de A:
    \( \displaystyle K_1= \frac{1}{\tan(1)}\Big[\tan(1)·\cos(\xi) - \sin(\xi)\Big] \quad ; \quad K_2 = \frac{\sin(\xi)}{\tan(1)} \)
Con lo que la función de Green será:
    \( \displaystyle G(x,\xi) =\left\{
    \begin{array}{l}
    \frac{\sin x}{\tan(1)}\Big[\tan(1)·\cos(\xi) - \sin(\xi)\Big]\qquad para \quad x \leq \xi \\
     \\
    \frac{\sin \xi}{\tan(1)}\Big[\tan(1)·\cos(x) - \sin(x)\Big]\qquad para \quad x \geq \xi \\
     \\
    \end{array}
    \right. \)
La solución del problema vendrá daba entonces por:
    \( \displaystyle u(x) = - \int_0^1 G(x,\xi)·\sin(\xi)·d\xi \)
Sustituyendo el valor de \(G(x,\xi) \):
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    u(x) = - \frac{\tan(1)·\cos(x) - \sin(x)}{\tan(1)}\int_0^x \sin^2 (\xi)·d\xi - \\
     \\
    - \frac{\sin x}{\tan 1}\int_x^1\Big[\tan(1)·\cos(\xi) - \sin(\xi)\Big]\sin(\xi)·d\xi = \\
     \\
    = - \frac{\tan(1)·\cos(x) - \sin(x)}{\tan(1)}\left[\frac{1}{2}·\xi - \frac{\sin 2\xi}{4}\right]_0^x - \\
     \\
    - \frac{\sin x}{\tan(1)}\left[\frac{\tan\tan(1)}{2}·\sin^2\xi - \frac{1}{2}·\xi + \frac{\sin 2\xi}{4}\right]_x^1 \\
    
    \end{array} \)

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Página publicada por: José Antonio Hervás