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MONOGRAFIAS MATEMÁTICAS ~ ECUACIONES DIFERENCIALES

ECUACIONES CON UN PARÁMETRO

ECUACIONES DIFERENCIALES CON UN PARÁMETRO

Sea la ecuación:

    \( \displaystyle \frac{dy}{dx} = f(x,y ; \lambda)\qquad\qquad (1) \)
Dónde f depende de las variables \( x \; e\; y \) y de un parámetro \( \lambda \). Por tanto, la solución que pasa por el punto inicial \( P = (x_o , y^o) \) es también función de \( \lambda \).
Sí f cumple en un entorno \( \mathfrak{R} \) de \( (x_o , y^o) \),
    \( \mathfrak{R} = \left\{(x,y)\;;\; |x-x_o| \leq h\: , \: |y - y^o| \leq b\right\} \)
Y para los valores de \( \lambda \) en un entorno de \( \lambda_o \),
    \(|\lambda - \lambda_o| < C \)
las condiciones del teorema de existencia y unicidad, y además f tiene derivadas continúas respecto de y y de \( \lambda \), en el dominio dicho, resulta que, fijado P, las integrales de (1) consideradas como funciones de \( \lambda \) son derivables, con derivada:
    \( \displaystyle U(x,\lambda) = \frac{dy}{d\lambda} \)
Continua respecto a \( \lambda \). La demostración se lleva a cabo como sigue:
Sean \( y \; e \; \bar{y} \) las soluciones correspondientes a dos valores \( \lambda \; e \; \bar{\lambda} \) del parámetro. Esto es:
    \( \displaystyle \bar{y} - y = \int_{x_o}^{x}\left[f(x,\bar{y}, \bar{\lambda}) - f(x,y,\lambda)\right]dx \)
De dónde:
    \( \displaystyle \frac{\bar{y} - y}{\bar{\lambda} - \lambda} = \int_{x_o}^{x}\left[\frac{\partial}{\partial y}f(x,y^*,\lambda^*)·\frac{\bar{y} - y}{\bar{\lambda} - \lambda} + \frac{\partial}{\partial \lambda}f(x, y^* , \lambda^*)\right]dx \)
Siendo \(y^* \) algún valor intermedio entre \( y \; e \; \bar{y} \), y \( \lambda^* \) entre \( \lambda \; e \; \bar{\lambda}\).
Pues bien, sí U(x) es la función que satisface la relación:
    \( \displaystyle U = \int_{x_o}^{x}\left[\frac{\partial}{\partial y}f(x,y, \lambda)·U + \frac{\partial}{\partial \lambda}f(x,y,\lambda)\right]dx\qquad\qquad (2) \)
Se puede demostrar que:
    \( \displaystyle \lim_{\bar{\lambda}\rightarrow \lambda}\left|\frac{\bar{y} - y}{\bar{\lambda} - \lambda}\right| = 0\qquad\qquad (3) \)
Lo que quiere decir que existe,
    \( \displaystyle \frac{dy}{d\lambda} = U \)
Pero entonces, además, la (2) significa que la función:
    \( \displaystyle U(x) = \frac{dy}{d\lambda} \)
Satisface la ecuación:
    \( \displaystyle\frac{dU}{dx} = \frac{\partial}{\partial y}f(x,y,\lambda)U + \frac{\partial}{\partial \lambda}f(x,y,\lambda)\qquad\qquad (4) \)
Con \( U(x_o)= 0\).
Formalmente era de esperar esto, la ecuación (4) se obtiene por derivación de la ecuación (1) respecto al parámetro \( \lambda \). La ecuación (4) es la llamada "ecuación en las variaciones" relativa en las del parámetro \( \lambda \).
Para demostrar el paso al límite formulado en (3) basta considerar:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \frac{\bar{y} - y}{\bar{\lambda} - \lambda}- U = \int_{x_o}^{x}\left[f_y(x,y^*, \lambda^*)\left(\frac{\bar{y} - y}{\bar{\lambda} - \lambda}- \breve{U}\right)\right. + \\
     \\
    \left. +\left(f_y(x,y^*,\lambda^*) - f_\lambda(x,y,\lambda)\right)U + f_\lambda(x,y^*,\lambda^*) - f_\lambda(x,y,\lambda)\right]dx
    \end{array} \)
Pues los términos señalados con \( (\breve{}) \) se han introducido en la expresión con signo contrario lo que no altera esta. Ahora, por las hipótesis del enunciado, cualquiera que sea \( \varepsilon > 0 \), existe un \( \tau = \tau(\varepsilon) \) tal que cuando \( |\bar{\lambda} - \lambda| < \delta \), la parte siguiente al primer producto del integrando anterior tiene la suma con valor inferior a \( \varepsilon \). Fijados así \( \bar{\lambda} \; y \; \lambda \), llamaremos:
    \( \displaystyle \left|\frac{\bar{y} - y}{\bar{\lambda} - \lambda}- U\right| = z(x;\lambda,\bar{\lambda}) \)
Y sea M una cota superior de \( |f_y(x,y,\lambda)| \) en el dominio de integración. Entonces se tiene la limitación:
    \( \displaystyle 0 \leq z(x\: ;\: \lambda , \bar{\lambda}) \leq \int_{x_o}^{x} \left[M·z(x;\lambda , \bar{\lambda}) + \varepsilon\right] dx \)
Ir de aquí, por el tema de Cromwall (&),
    \(0 \leq z(x\: ;\: \lambda , \bar{\lambda}) \leq \varepsilon·h·\exp(M·h) \)
Que tiende a 0 con \( \varepsilon \).
c.q.d. (cómo queríamos demostrar)
Estos resultados se generalizan inmediatamente a los sistemas formales de la forma:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \frac{dy}{dx} = f_k(x,y_1,..., y_n, \lambda)\qquad (k=1,...,n) \\
     \\
    P = (x_o \; ,\; y_1^o \; ,\; ... \; ,\; y_n^o)
    \end{array}\)
Sin más que una suplementaria incomodidad en la escritura de los cálculos, análogos a los del caso de una ecuación.
Es muy importante en física asegurarse de la continuidad de las soluciones respecto a los parámetros que figuren en una ecuación, pues estos son siempre resultado de medidas, por lo que es inevitable darlos con un cierto margen de inexactitud y es necesario saber que una pequeña variación en los datos no producirá una variación grande en los resultados.(sí la produjese, el problema se llama, físicamente, "mal planteado").
(&) lema de gronwall
Si en \( x_o \leq x \leq x_o + h \) si tiene:
    \( \displaystyle 0 \leq z(x) \leq \int_{x_o}^{x}\left[M·z(x) + A\right]dx + B \)
Con M, A, B constantes positivas, entonces:
    \( 0 \leq z(x) \leq (A·h + B)·\exp (M·h) \)
Demostración
Llamemos \( \xi(x) \) a la función:
    \( \displaystyle \xi(x) = \frac{z(x)}{\exp\left[M(x - x_o)\right]} \)
Y sea \( \xi(x_1) \) el valor máximo de \( \xi(x) \) en \( x_o \leq x \leq x_o + h \). En tal caso:
    \( \displaystyle 0 \leq \exp \left[M(x_1 - x_o)\right]\xi(x) \leq \int_{x_o}^{x}\left\{\left[M(x_1 - x_o)\right]\xi(x) + A\right\}dx + B \)
De donde:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    0 \leq \exp \left[M(x_1 - x_o)\right]\xi(x) \leq \xi(x_1)\int_{x_o}^{x}M·\exp\left[M(x-x_o)\right]dx + \\
     \\
    + A(x_1-x_o)+ B = \xi(x_1)\left\{\exp\left[M(x_1-x_o)\right] - 1\right\} + A(x_1 - x_o) + B
    \end{array} \)
Esto es:
    \( \xi(x_1) \leq A(x_1 - x_o) + B \leq A·h + B \)
Con lo cual:
    \( \displaystyle \frac{z(x)}{\exp\left[M(x - x_o)\right]} = \xi(x) \leq \xi(x_1) \leq A·h + B \)
Y finalmente:
    \(z(x) \leq (A·h + B)·\exp \left[M(x-x_o)\right] \leq (A·h+B)·\exp (M·h) \)
c.q.d.

Dependencia de las condiciones iniciales

Sea \( P(x_o,y^o) \) el punto por el que debe pasar determinada solución de:

    \( \displaystyle \frac{dy}{dx} = f(x,y)\qquad\qquad (5) \)
Con el cambio \( y=z+y^o \), la función \( z \) está determinada por:
    \( \displaystyle \frac{dz}{dx} =\{ f(x \; ,\; z+y^o)\quad ,\quad z(x_o)\} = 0 \qquad\qquad (6) \)
Ahora se puede considerar \( y^o \) como parámetro. Se ve, pues, que \( z \) puede ser derivado respecto a él (sí f cumple las condiciones exigidas antes), luego también \( y \), con:
    \( \displaystyle \frac{\partial y}{\partial y^o} = \frac{\partial z}{\partial y^o} + 1 \)
Puesto que la derivada
    \( \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y^o} =\overline{V} \)
Es solución del sistema:
    \( \displaystyle \frac{d\bar{V}}{dx} = \frac{\partial}{\partial z}f(x\; ,\; z+y^o)·\bar{V} + \frac{\partial}{\partial y^o}f(x\; ,\; z+y^o) \)
Con \( \bar{V}(X_o) = 0 \), la derivada:
    \( \displaystyle V = \frac{\partial y}{\partial y^o} \)
Qué es la que aquí interesa, viene determinada, deshaciendo el cambio de variable, por:
    \( \displaystyle \frac{dV}{dx} = \frac{\partial}{\partial y}f(x,y)·V\qquad ,\quad con\quad V(x_o) = 1\qquad\qquad (7) \)
La (7) es ahora la llamada "ecuación en las variaciones" relativa a las de las condiciones iniciales. Normalmente se establece con solo derivar la (5) respecto a \( y^o \) (supuesto, claro está, \( y=y(x,y^o) \))
Un resultado análogo vale para la derivabilidad de la integral de (5) respecto a \( x_o \).

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Página publicada por: José Antonio Hervás