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MONOGRAFIAS MATEMÁTICAS ~ TEORÍA DE AUTOVALORES

VALORES PROPIOS - VECTORES PROPIOS

AUTOVALORES Y AUTOVECTORES

Definición.- Se llama vector propio asociado a un endornorfismo f a un vector x ,no nulo ,para el que existe un escalar \( \lambda \) que cumple la condición:
    \(\displaystyle f(x) = \lambda x \)
el escalar \( \lambda \) se denomina valor propio asociado a x, \( \lambda \) puede ser cero puesto que se tiene:
    \(\forall x \in \;Ker\; f \Rightarrow f(x) = 0 = 0·x \)
Sea V(A) el conjunto de los vectores propios asociados al valor propio A , añadiendo el vector nulo,se tiene entonces,

Teorema.- Sea f un endomorfismo de un espacio vectorial E sobre un cuerpo conrnutativo K,entonces :
    1ª) A todo vector propio de f corresponde un único valor propio.

    2ª) \( V(\lambda) \) es un subespacio vectorial.
Demostración.- 1º Supongamos que un vector propio x tiene asociados dos valores propios \( \lambda \) y \( \lambda' \) distintos:
    \(\left. \begin{array}{l} f(x) = \lambda·x \\ \\ f(x) = \lambda'·x \\ \end{array} \right\}\quad 0 = (\lambda - \lambda')x\; \mathop { \Longrightarrow }\limits^{x\neq 0} \;(\lambda - \lambda') = 0 \Leftrightarrow \lambda = \lambda' \)
2º) , sean \(x, y \in V(\lambda)\quad ; \quad \mu_1 , \mu_2 \in K\) podemos poner :
    \(\begin{array}{l}
    f(\mu_1 x + \mu_2 y) = \mu_1f(x) + \mu_2f(y) = \mu_1\lambda x + \mu_2\lambda y = \\
    \\
    = \lambda(\mu_1 x + \mu_2 y) \in V(\lambda)
    \end{array} \)
\( V(\lambda) \) se denomina subespacio propio asociado al valor propio \( \lambda \)

Teorema.- Sea fun endormorfismo sobre un espacio vectorial E,de dimensión finita,sobre un cuerpo K,entonces \( \lambda \) es un valor propio def sii la aplicación \(f - \lambda I\) donde I es la aplicaci6n identidad, es no inversible.

Demostración.- Sea \( \lambda \) un valor propio de f, entonces podemos poner:
    \( \begin{array}{l} \exists x \neq 0\; t.q. f(x) = \lambda·x \Rightarrow \; \exists x \neq 0\; t.q. (f - \lambda I)(x) = 0 \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow Ker(f - \lambda I)\neq \{0\} \end{array}\)
Si se cumple lo anterior, entonces \((f - \lambda I)\) no es inyectiva, y por lo tanto \((f - \lambda I)\) no es inversible.

Teorema.- Los subespacios \( V(\lambda_1) \) y \( V(\lambda_2) \) asociados a dos valores propios distintos verifican:
    \( V(\lambda_1)\cap V(\lambda_2) = \{0\} \)
Demostración.-
    \(V(\lambda_1)\cap V(\lambda_2) \quad \Rightarrow \left\{
    \begin{array}{l}
    f(x) = \lambda_1·x \\
    \\
    f(x) = \lambda_2·x \\
    \end{array}
    \right.\quad \Rightarrow 0 (\lambda_1 - \lambda_2)x \mathop {\Longrightarrow}\limits^{\lambda_1 \neq \lambda_2} x = 0 \)
Teorema.- Sea fun endomorfismo de un espacio vectorial E sabre un cuerpo K. Si \(\lambda_1 \cdots \lambda_m\) son valores propios distintos de f , entonces la familia \(\{x_i\}_{1\leq i \leq m}\) asociada respectivamente a cada \(\lambda_i\) es libre.
    \( \mu_1x_1 + \cdots + \mu_mx_m \)
Aplicando f tenemos:
    \( \begin{array}{l} f(\mu_1x_1 + \cdots + \mu_mx_m) = 0 \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow \mu_1\lambda_1x_1 + \cdots + \mu_m\lambda_mx_m (0) \qquad (1) \end{array} \)
cuando m = 1 tenemos un solo valor propio y un vector propio x1 con lo que evidentemente la familia \(\{x_1\}\) es libre.
Razonemos por inducción suponiendo que el tearema se cumple para m-1 y veamos si se curnple para m. Para ello consideremos de nuevo la combinación lineal de los xi.
    \( \mu_1x_1 + \cdots + \mu_mx_m = 0 \)
y multipliquemos todos las terminos por \(\lambda_1\):
    \( \lambda_1\mu_1x_1 + \lambda_1\mu_2x_2 + \cdots +\lambda_1 \mu_mx_m = 0 \qquad (2) \)
Restando ahora de la expresión (1) la (2) nos queda
    \( \mu_2(\lambda_2 - \lambda_1)x_1 + \cdots + \mu_m(\lambda_m - \lambda_1)x_m = 0\qquad (3) \)
pero,por la hipótesis de inducción tenernos que los vectores de (3) son libres,por tanto
    \( \mu_i (\lambda_i - \lambda_1) = 0 (i = 2,\cdots, m)\mathop {\Longrightarrow}\limits^{\lambda_i \neq \lambda_1} \mu_i = 0 \quad con \; i = 2,\cdots, m \)
nos queda entonces la expresión pero como un vector unico siempre es libre podemos decir que la familia \(\{x_i\}_{1\leq i \leq m}\) es libre.

Corolario.- Si la dimensión de un espacio vectoriaI es n todo endomorfismo f definido sobre dicho espacio tiene como maximo n valores propios distintos.

Corolario.- Si \(\lambda_1 , \cdots , \lambda_n\) son valores propios distintos de f, entonces el subespa pacio \(V(\lambda_1) + \cdots + V(\lambda_n)\) es suma directa.

Demostración.- Consideremos un vector x que pertenezca a la suma de todos los subespacios propios
    \( x \in V(\lambda_1) + \cdots + V(\lambda_n) \)
Para demostrar que la suma anterior es directa nos basta con probar que la descompoción de x es única. Supongamos que admite dos descornposiciones:
    \(\begin{array}{l}
    x = x_1 + \cdots + x_n \quad x_i \in V(\lambda_i) \\
    \\
    x = x'_1 + \cdots + x'_n \quad x'_i \in V(\lambda_i)
    \end{array} \)
podemos hacer entonces:
    \( 0 = (x_1 - x'_1) + \cdots + (x_n - x'_n)\quad , \; x_i - x'_i\in V(\lambda_i) \)
pero cada \(x_i - x'_i\) es un vector propio asociado al valor propio \(\lambda_i\) y según hemos visto en el teorema anterior la familia \((x_1 - x'_1) + \cdots + (x_n - x'_n)\) es libre,por lo tanto la expresión anterior no es valida salvo que se tenga:
    \( x_i - x'_i = 0 \Rightarrow x_i = x'_i \)
y en consecuencia la suma es directa.

Monografía en tres capítulos, primer capítulo: Valores propios. Capítulo siguiente Polinomio característico
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tema escrito por: José Antonio Hervás