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MONOGRAFIAS MATEMÁTICAS

SERIES NUMÉRICAS

SERIES SUMABLES DIRECTAMENTE


Además de la serie geométrica anteriormente vista, existen series que pueden sumarse en general.
Diremos que una serie:

    \( \displaystyle \sum_{n=1}^{n}a_n \)
Es hipergeométrica si se puede expresar:
    \( \displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{n·\alpha + \beta}{n·\alpha + \gamma} \)
Siendo \( \alpha , \beta , \gamma \in R \) y con la condición de que \( \alpha \quad y\quad \gamma \) no sean 0 simultáneamente.
La suma de esta serie viene dada por la expresión:
    \( \displaystyle A = \frac{a_k(k\alpha + \beta)- a_1\gamma}{\alpha+\beta-\gamma} \)
Otro tipo de series que se pueden sumar directamente son aquellas que se pueden expresar en la forma:
    \( a_n = \varphi(n+1)-\varphi(n) \)
La sucesión a formar sería:
    \( \begin{array}{l}
    a_1 = \varphi(2) - \varphi(1) \\
     \\
    a_2 = \varphi(3) - \varphi(2) \\
     \\
    .\: .\: .\: .\: .\: .\: .\: .\: .\: .\: .\: . \\
     \\
    a_k = \varphi(k+1) - \varphi(k)
    \end{array} \)
La serie de termino general:
    \( \displaystyle a_n = \frac{P(n)}{Q(n)} \)
(Siendo los ceros del polinomio denominador números reales). Es convergente cuando el grado del denominador escribe al menos en dos unidades al del numerador. El procedimiento para encontrar la suma consiste en descomponer \( a_n \) en fracciones simples y para el caso en que no se presenten raíces múltiples.
La suma se desarrolla entonces como se indica en el siguiente

ejemplo:
    \( \displaystyle \sum_{n=1}^{n}\frac{1}{n(n+2)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+2} = \frac{1}{2·n} - \frac{1}{2(n+2)} \)
Y desarrollando:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    a_1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{6} \\
    a_2 = \frac{1}{4} - \frac{1}{8} \\
    a_3 = \frac{1}{6} - \frac{1}{10} \\
    a_4 = \frac{1}{8} - \frac{1}{12} \\
    .\: .\: .\: .\: .\: .\: .\: .\: .\: .\: .\: . \\
    a_{k-3} = \left(\frac{1}{2k-6}\right) - \left(\frac{1}{2k-2}\right) \\
    a_{k-2} =\left( \frac{1}{2k-4}\right) -\left( \frac{1}{2k}\right) \\
    a_{k-1} =\left( \frac{1}{2k-2}\right) -\left( \frac{1}{2k+2}\right) \\
    a_k = \left(\frac{1}{2·k}\right) - \left(\frac{1}{2k+4}\right) \\
    - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - \\
     \\
    A_k = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{2k + 2} - \frac{1}{2k+4} \quad ;\quad \lim_{k\rightarrow \infty}A = \frac{1}{2} + \frac{1}{4}= \frac{3}{4}
    \end{array} \)
La serie cuyo término general es de la forma
    \( \displaystyle \frac{P(n)}{n!} \)
O con denominador análogo, es otro tipo de serie sumable directamente.
El procedimiento general consiste en descomponer el término general en la forma:
    \( \displaystyle \frac{P(n)}{n!} = \frac{A}{n!} + \frac{B}{(n-1)!} + ... + \frac{H}{(n-h)!} \)
Siendo h el grado de P(n).
Reduciendo a común denominador y dando a n los valores 0, 1, 2,..., h obtenemos los valores de los coeficientes, quedando entonces la serie:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    S = \lim_{k\rightarrow \infty}\left[\sum_{n=0}^{k}\frac{A}{n!} + \sum_{n=1}^{k}\frac{B}{(n-1)!} + ... + \sum_{n=h}^{k}\frac{H}{(n-h)!} \right] = \\
     \\
    \lim_{k\rightarrow \infty}\left[A \sum_{n=0}^{k}\frac{1}{n!} +B \sum_{n=1}^{k}\frac{1}{(n-1)!} + ... +H \sum_{n=h}^{k}\frac{1}{(n-h)!} \right] = \\
     \\
    (A + B + .\; .\; . + H)·e
    \end{array}\)
Pues cada una de las series:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \sum_{n=0}^{k}\frac{1}{n!} \\
     \\
    \sum_{n=1}^{k}\frac{1}{(n-1)!} \\
     \\
    \sum_{n=h}^{k}\frac{1}{(n-h)!}
    \end{array} \)
Tiene por suma e.
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Monografía en cinco capítulos, primer capítulo: Preliminares. Capítulo siguiente Series de términos positivos
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Página publicada por: José Antonio Hervás