Estás en > Matemáticas y Poesía > Matemáticas

MONOGRAFIAS MATEMÁTICAS ~ SERIES NUMÉRICAS

SERIES NUMÉRICAS ~ PRELIMINARES

DEFINICIÓN

Dada una sucesión indefinida de números reales cualesquiera: \( a_1,a_2,a_3,...,a_n \), se llama serie algoritmo:

    \( a_1+a_2+a_3+...+ a_n \)
Es decir, algoritmo resultante de combinar la operación de sumar con el paso al límite. Esto no puede interpretarse sin más como una suma de infinitos términos, sino que su significado es el siguiente: Consideremos la sucesión \( a_n \) y asociémosle la sucesión \( A_n \) de sumas parciales:
    \( \begin{array}{l}
    A_1 = a_1 \\
    A_2 = a_1+a_2 \\
    A_3 = a_1+a_2+a_3 \\
    . \cdots \cdots \cdots \\
    A_n = a_1+a_2+a_3 + \cdots + a_n
    \end{array} \)
Cómo a "n" podemos darle cualquier valor natural, obtenemos una sucesión indefinida de números \( A_1,A_2,A_3,..., A_n\), llamados cada uno suma parcial asociada a \( a_i \).
Sí dicha sucesión es convergente (tiene límite finito) su límite se llama suma de la serie y se dice que esta es convergente.
Sí la sucesión de sumas parciales es divergente (límite infinito) sí dice que la suma es divergente.
Sí la sucesión de sumas parciales carece de límite, la serie se llama oscilante.
Resto de orden K.-
Se denomina así al error cometido despreciando los \( K+1 \) siguientes términos de la sucesión de sumas parciales:
    \( \displaystyle R_K = \sum_{n=K+1}^{\infty}a_n \)
Serie geométrica.-
Recibe el nombre de serie geométrica la formada con los términos de la progresión geométrica cuyos términos valen:
    \( \displaystyle U_n = \frac{a(1-k^n}{1-k} = \frac{a}{1-k} - \frac{a·k^n}{1-k} \)
Si se tiene \( |k| < 1 \) la serie resulta convergente con suma
    \( \displaystyle U = \frac{a}{1-k} \)
Sí \( |k| > 1 \) la serie resulta divergente.
Si:
    \( k=1 \quad; \quad U_n = a+a·k + a·k^2 + ... + a·k^{n-1} = n·a \)
La serie es divergente.
Si:
    \( k=-1 \; \rightarrow \; U_1 = a ; U_2 = 0 ; U_3 = a ; U_4 = 0 ; \cdots \)
La serie resulta oscilante.

Criterio general de convergencia de Cauchy para series.

Para que una serie convergente es necesario y suficiente que se cumpla:
    \( \begin{array}{l}
    \forall\; \varepsilon > 0 ,\; \exists N / \forall p,q \geq N |a_p + a_{p+1}+ \cdots + a_q| < \varepsilon \Rightarrow \\
     \\
    \Rightarrow |A_p - A_q| < \varepsilon
    \end{array} \)
Si dicha codición no se cumple para un par de valores \( p,q \), la serie no es convergente.
Si tomamos en particular \( p= n-1 \quad y \quad q = n \), se tiene:
    \( \displaystyle |A_n - A_{n-1}| = |a_n| < \varepsilon\qquad ;\qquad \lim_{n\rightarrow \infty} a_n \rightarrow 0 \)
Qué es una condición necesaria pero no suficiente para la convergencia de la serie.
La forma negativa de este caso es más importante: Sí \( |a_n| \) no tiende a cero, es condición suficiente para que la serie,
    \( \displaystyle \sum_{n=1}^{n}a_n \)
Sea divergente.
Otra condición necesaria y suficiente para que la convergencia de una serie se verifique es que el resto tienda a 0.
Recíprocamente, si una serie es convergente, el resto de orden K tiende a cero:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    A = A_k + R_k ; \lim_{k\rightarrow \infty} A = \lim_{k\rightarrow \infty} A_k + \lim_{k\rightarrow \infty} R_k \Rightarrow \\
     \\
    \Rightarrow A = A + \lim_{k\rightarrow \infty} R_k \Rightarrow \lim_{k\rightarrow \infty} R_k = 0
    \end{array} \)
Propiedades de las series.

El carácter de una serie no se altera se suprimen o cambian un número finito de términos.
El carácter de una serie no se altera si todos sus miembros se multiplican por una cantidad constante.
El carácter de una serie convergente o divergente no se altera se se emplea la propiedad asociativa dela suma.
Tampoco varía la suma se le serie es convergente.
Si la serie es oscilante, la propiedad asociativa no subsiste para ella.
No se pueden descomponer arbitrariamente los términos en suma de varios, pues de que la serie resultante tenga un límite finito o infinito no se desprende que la serie inicial lo tenga.
¿Te han sido de utilidad estos apuntes sobre series numéricas?
¡Recomiénda esta página!


Monografía en cinco capítulos, primer capítulo: Preliminares. Capítulo siguiente Series sumables directamente
Otros usuarios de Matemáticas y poesía también han visto:




Página publicada por: José Antonio Hervás