RESUMEN
El resultado principal de este trabajo está relacionado
con otros recogidos en varios artículos escritos para analizar
la estructura de los factores primos de ciertas expresiones numéricas,
entre ellos el titulado “
Caracterización
de los factores de la suma de dos números elevados a la
misma potencia” [1] ya que como demostraremos,
los polinomios ciclotómicos pueden deducirse como factores
de la suma de dos números enteros elevados a una misma
potencia.
DESARROLLO
Resulta fácil imaginar que algunas de las cuestiones que
pueden plantearse en el estudio de tales números están
directamente relacionadas con el teorema de Fermat – Wiles,
cuyo celebérrimo enunciado no vamos a transcribir aquí
por razones obvias, aunque si recordamos que tiene que ver con
números de la forma:
\(a^{n}\pm b^{n}\qquad \)(1)
Para los que sabemos que, cuando n es un número impar,
podemos escribir:
\( \displaystyle a^{n}\pm b^{n} = (a\pm b)\left(\sum^{n-1}_{i=0}-1)^{-n-1-i}a^ib^{n-1-i}\right)\)
Y cuando el exponente es un número primo, p, tenemos:
\( \displaystyle \frac{a^p \pm b^p}{a\mp b}= 2mp+1\quad(2) \)
Según se demuestra en [1], todos los factores de la anterior
expresión son de la forma dada en (1) salvo en los casos
en los que \((a\pm b)\)sea múltiplo de p, para los que
hay que tener en cuenta que hemos de añadir un factor p
a la descomposición.
Definición
Por otro lado, de acuerdo con los textos académicos sobre
teoría algebraica y teoría de números, se
denomina polinomio ciclotómico de orden n y se denota como
\(F_n\) al polinomio unitario cuyas raíces son todas las
raíces primitivas de orden n de la unidad, es decir, que
verifican \(z^n = 1\).
El polinomio ciclotómico n-ésimo está definido,
según eso, por el hecho de que sus ceros son precisamente
las raíces primitivas n-ésimas de la unidad, cada
una con multiplicidad 1:
\( \displaystyle \Phi_n(z) = \prod^{\varphi(n)}_{k=1}(z-z_k)
\)
donde \(Z_1, \ldots , Z_\Phi(n)\) son las raíces primitivas
n-ésimas de la unidad, y \(\Phi(n)\) es la función
de Euler.
El polinomio \(F_n(z)\) tiene coeficientes enteros y es un polinomio
irreducible sobre el cuerpo de los números racionales,
lo que significa que no puede ser escrito como producto de dos
polinomios de grado positivo con coeficientes racionales.
Podemos recordar que cada raíz n-ésima de la unidad
es cualquiera de los n números complejos distintos que
son raíces del polinomio:
Y que dicha raíz n-ésima es una raíz primitiva
d-ésima de la unidad para algún entero d tal que
Lo cual implica que:
\( \displaystyle z^n - 1 = \prod_{d/n}\Phi_d(z) \qquad (3) \)
Fórmula que representa la factorización del polinomio
\(z^n - 1\) en factores irreducibles.
\(\left( \begin{array}{l} z^1 - 1 = (z-1) \\ \\ z^2 - 1 = (z-1)(z+1)
\\ \\ z^3 -1 = (z-1)(z^2+z+1) \\ \\ z^4 - 1= (z-1)(z+1)(z^2+1)
\\ \\ z^5 - 1= (z-1)(z^4 + z^3 + z^2 + 1) \\ \\ z^6 - 1= (z-1)(z+1)(z^2+z+1)(z^2-z+1)
\\ \\ z^7 - 1 = (z-1)(z^6+z^5+z^4+z^3+z^2+z+1) \\ \\ \\ \end{array}
\right)\)
Los polinomios ciclotómicos pueden calcularse recursivamente
a partir de la relación (3) y mediante la inversión
de Möbius podemos obtener:
\( \displaystyle \Phi_n(z) = \prod_{d/n}(z^{d/n}-1)^{\mu(d)}
\)
Donde \(\mu\) es la función de Möbius definida por
\( \displaystyle \mu(d) = \left\{
\begin{array}{l}
0\qquad\textrm{ si }d \textrm{ es divisible por }p^2 \textrm{
para algún primo }p \\\\
(-1)^r\qquad \textrm{ si }d \textrm{ es producto de r primos distintos}
\\\\
1\qquad \textrm{ si } d=1
\end{array}
\right. \)
Con lo que los primeros polinomios ciclotómicos son:
\( \displaystyle \begin{array}{l}
\Phi(1) = z - 1 \\
\\
\Phi(2) = \frac{z^2-1}{z-1}= z+1 \\
\\
\Phi(3) = \frac{z^3-1}{z-1}= z^2+z+1 \\
\\
\Phi(4) = \frac{z^4-1}{z^2-1}= z^2+1 \\
\\
\Phi(5) = \frac{z^5-1}{z-1}= z^4+z^3+z^2+z+1 \\
\\
\Phi(6) = \frac{(z^6-1)(z-1)}{(z^3-1)(z^2-1}= z^2-z+1 \\
\\
\Phi(7) = \frac{z^7-1}{z-1}= z^6+z^5+z^4+z^3+z^2+z+1 \\
\end{array} \)
De la relación anterior puede verse que cuando el grado
del polinomio ciclotómico es un número primo, tenemos
que:
\( \displaystyle \Phi_p(z) = \frac{z^p - 1}{z-1} = \sum^{p-1}_{k=0}z^k
\)
Y así mismo, resulta fácil ver que para todo n impar
se verifica:
\(\Phi_{2n}(z) = \Phi_n(-z) \)
Veamos ahora cómo podemos obtener a partir de lo expuesto
la factorización del polinomio \(z^n+1\). Sabemos que se
cumple:
\( z^{2n}-1 = (z^n+1)(z^n-1) \)
Y a partir de ahí:
\( \displaystyle z^n+1 = \frac{z^{2n}-1}{z^n-1}= \frac{\displaystyle
\prod_{d/2n}\Phi_d(z)}{\displaystyle \prod_{d/n}\Phi_d(z)}\)
Así, por ejemplo:
\(\left( \begin{array}{l} z^1 - 1 = (z-1) \\ \\ z^2 - 1 = (z-1)(z+1)
\\ \\ z^3 -1 = (z-1)(z^2+z+1) \\ \\ z^4 - 1= (z-1)(z+1)(z^2+1)
\\ \\ z^5 - 1= (z-1)(z^4 + z^3 + z^2 + 1) \\ \\ z^6 - 1= (z-1)(z+1)(z^2+z+1)(z^2-z+1)
\\ \\ z^7 - 1 = (z-1)(z^6+z^5+z^4+z^3+z^2+z+1) \\ \\ \\ \end{array}
\right)\)
Para obtener la factorización de expresiones de la forma:
A partir de lo visto, podemos hacer:
\( \displaystyle a^n \pm b^n =b^n\left(\frac{a^n}{b^n}\pm 1\right)
= b^n(z^n \pm 1) \)
Para factorizar el término entre paréntesis como
ya sabemos por los resultados anteriores.
EJEMPLO NUMERICO
Como ejemplo numérico vamos a obtener la descomposición
en factores primos del número:
En primer lugar, vemos que 13 + 2 = 15 y, evidentemente dicho
valor es múltiplo del exponente o, lo que es igual, de
cada uno de los factores que lo componen; de ese modo, ya sabemos
que en la descomposición factorial vamos a tener los factores
3
2 y 5
2.
Así:
\(\begin{array}{l}
a^{15}+ b^{15} = (a+b)(a^2 - ab+b^2)(a^4 - a^3b+a^2b^2 -ab^3+b^4)\times
\\
\\
\times (a^8 + a^7b - a^5b^3 - a^4b^4 - a^3b^5 + ab^7 + b^8)
\end{array}\)
Y de ese modo:
\( \begin{array}{l}
13^{15}+ 2^{15}= (13+2)(13^2 -13\times 2 +2^2)\times \\
\\
\times(13^4 - 13^3\times 2 + 13^2\times 2^2 - 13\times 2^3 +
2^4)\times \\
\\
(13^8 + 13^7\times 2 - 13^5\times 2^3 - 13^4 \times 2^4 - 13^3\times
2^5 + 13\times 2^7 + 2^8)
\end{array} \)
Con lo cual:
\( \begin{array}{l}
13^{15}+ 2^{15}= (3\times 5)(3\times 7^2) \\
\\
(5\times 4951)(31\times 1291 \times 23431) = \\
\\
= 3^2\times 5^2 \times 7^2 \times 31 \times 1291 \times 4951
\times 23431\\\\
\end{array} \)
Y podemos comprobar, de acuerdo con los resultados teóricos,
que los factores primos distintos de 3 y 5, deducibles de las
partes exponenciales, son respectivamente de la forma:
\( \begin{array}{l}
2m\times 3 + 1 \\
\\
2m\times 5 + 1 \\
\\
2m\times 3 \times 5 + 1 \\\\
\end{array} \)