Coordenadas cartesianas.- es común asociar un número complejo, \( z=x+i·y \) con un punto en el plano , cuyas coordenadas cartesianas son \( x \;e\; y \) . Caso número complejo corresponde solo a un punto y recíprocamente, es decir , asignación definida es biunívoca. Podemos imaginar al número z como el vector dirigido desde el origen al punto \( x \;,\; y \) . Cuándo se utiliza para representar geométricamente a los números complejos \( z=x+i·y \), el plano XY domomina plano complejo o plano z. El eje X recibe el nombre de eje real y e eje Y y el de eje imaginario.

El módulo o valor absoluto de un número complejo \( z=x+i·y \) se define como el número real no negativo, \( \sqrt{x^2+y^2} \) y se denota por \( |z| \) , es decir:

\( |z| = \sqrt{x^2+y^2} \qquad\qquad (8)\)

Coordenadas polares.-
Se denota \( r \;y\; \theta \) como las coordenadas polares del punto \( (x,y) \). Correspondientes al número complejo, diferente de cero,\( z=x+i·y \)
Puesto que:

\( x=r·\cos \theta \;;\; y=r·\sin \theta \qquad\qquad (9)\)

z se puede escribir en forma polar como:

\( z=r(\cos \theta + i·\sin \theta) \qquad\qquad (10)\)

El número r es el módulo del vector que representa a z; es decir \( r=|z| \) . El número \( \theta \) se llama argumento de z y se escribe\( \theta=\arg z\).

Geométricamente, \( \arg z\) es el ángulo, medido en radianes, qué forma con la parte positiva del eje real, cuándo se considera acepta z como un segmento dirigido desde el origen. Por tanto, tiene un valor cualquiera de una cantidad infinita de valores reales que difieren entre sí en múltiples enteros de \( 2\pi \) .

Para cualquier z diferente de cero, el valor principal de \( \arg z \) se denota por \( A\arg z \) y se define como el valor único de argumento de \( \arg z \) tal que \( -\pi < \arg z \leq \pi \) . Otras veces interesa tomar como argumento principal aquel que cae en el rango \( [0,2\pi) \)).

Podemos ahora considerar una identidad importante entre los argumentos:

\( \arg (z_1z_2) = \arg z_1 + \arg z_2 \qquad\qquad (11)\)

La identidad (11) no es siempre válida cuando arg se constituye por Arg; solamente se requiere hacer \( z_1= -1 \;y \; z_2 = i \) para observarlo. Para demostrarla se escriben \( z_1 \;y \; z_2 \) en su forma polar y se desarrolla el producto de números complejos.
Se puede comprobar que la forma polar para el inverso multiplicativo de un número complejo, diferente de cero, es:

\( \displaystyle z=r(\cos \theta + i·\sin \theta) \Rightarrow z^{-1} = \frac{1}{r}[\cos (-\theta) + i·\sin (-\theta)]\)

Y de ahí se tiene una expresión sencilla para el cociente de dos números complejos diferentes de cero:

\( \displaystyle \frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}\left[\cos (\theta_1-\theta_2) + i·\sin (\theta_1-\theta_2)\right]\)

Considerando la fórmula de Euler:

\(e^{i\theta} = \cos \theta +i·\sin \theta\)

Cualquier número complejo z, diferente de cero, se puede expresar en la forma:

\( z = r·e^{i\theta}\)

Con lo cual se simplifican notablemente todas las operaciones consideradas.