Operaciones con los números complejos. Representación en el plano.

Definición.- los números complejos se pueden definir como pares ordenados:

\( z = (x,y)\qquad\qquad (1)\)

De números reales x e y operaciones de adición y multiplicación que especificaremos más adelante. Los números complejos de la forma \( (0,y) \) se llaman números imaginarios puros. Los números \( x \;e\; y \) de la expresión se llaman respectivamente, parte real y parte imaginaria de z, y se escribe:

\( \Re z = x \; ;\; \Im z = y \qquad\qquad (2) \)

Dos números complejos \( (x_1,y_1)\; y\; (x_2,y_2) \) son iguales si tienen las mismas partes reales y las mismas partes imaginarias. Es decir:

\( (x_1,y_1)= (x_2,y_2)\; sii\; x_1=x_2 \;e \; y_1=y_2 \qquad\qquad (3) \)

Las operaciones de adición \( z_1+z_2\) y multiplicación \( z_1·z_2 \) de los números complejos \( z_1 =(x_1,y_1)\; y\; z_2 = (x_2,y_2) \) se definen por medio de las ecuaciones:

\( \begin{array}{lc}
(x_1,y_1)+ (x_2,y_2) = (x_1+x_2 , y_1+y_2) & \qquad\qquad (4) \\
 &  \\
(x_1,y_1)·(x_2,y_2) = (x_1x_2-y_1y_2 , y_1x_2+x_1y_2) & \qquad\qquad (5)
\end{array} \)

En particular, denotando por \( i \) el numero imaginario \( (0,1) \) se puede escribir cualquier número complejo en la forma:

\( \displaystyle(x,y)= x+i·y \qquad\qquad (6)\)

Y esto arrastraría los cambios consiguiente en las expresiones (4) y (5).

Propiedades algebraicas.- diversas propiedades de la adición y multiplicación de los números complejos son las mismas que para los números reales:

1ª) leyes conmutativas para la adición y la multiplicación.
2ª) leyes asociativas para la adición y la multiplicación.
3ª) ley distributiva respecto de la suma.

La identidad aditiva \( 0 =(0,0) \) y la identidad multiplicativa \(1 = (1,1) \) para los números reales, se a todo el sistema de los números complejos. Es decir:

\( z+0= z \;y\; z·1 = z \qquad\qquad (7)\)

De forma análoga al caso real, se también el inverso aditivo, con el produce la sustracción de números complejos y el inverso multiplicativo, por el que se la División que, naturalmente, solo está decidida cuando el divisor es distinto de cero.

Si el producto \( z_1·z_2 \) es 0, por lo uno de los factores \( z_1 \;o\; z_2 \) debe ser cero.
Finalmente, hemos de considerar que el ordenamiento normal de los números reales no se puede hacer extensivo al sistema de los números complejos. Es decir, una proposición tal como \( z_1\leq z_2 \) solamente tiene significado si \( z_1\; y\;z_2 \) son reales.
El sistema de números complejos es una extensión natural del sistema de los números reales.