METODO PARA EL CALCULO DE VALORES Y VECTORES PROPIOS DOMINANTES DE UNA MATRIZ PARTE IV

Viene de PARTE I - PARTE II - PARTE III

El algoritmo anterior puede implementarse en MathemáticaTM[16] mediante un programa semejante al siguiente:

(* CODIGO PARA INTRODUCIR LA MATRIZ PROBLEMA *)

n=100;SeedRandom[];Clear[];VA=Table[0,{n}]; tol=3;VL=250;p=7;q=5;
A=Table[Table[Random[Real,{0,10}],{n}],{n}]; A=N[A];
VPA=Reverse[Sort[Eigenvalues[A]]];Print["Val propios = ",VPA//InputForm];
For[k=1,k<=n,k=k+1,VA[[k]]=Abs[VPA[[k]]]];ERD=Reverse[Sort[VA]];
Print["VAO = ",ERD//InputForm];Print["R = ",ERD[[1]]/ERD[[2]]];
For[k=1,k<=p,k=k+1,Print["f",k-1," = ",ERD[[(p+2-k)]]/ERD[[p+1-k]]]];

(* CODIGO PARA EL CÁLCULO DE LOS VALORES PROPIOS DOMINANTES *)

Print["Extrayendo ",p," Valores de ",n];
CL=1000;MXI=CL*q;CMX=SE=X=M=MC=0;TM=TN=TX=
Table[0.01*j,{j,CL}];MN=5; M0=Mi=Table[Table[Random[Integer,{-q,q}],{p}],{n}];S=Take[Mi,p];MiT=Transpose[Mi];
Do[
Esc=1/(Max[Abs[Flatten[M0]]]);M1=A.M0; SInt=S;S=Inverse[MiT.M0].(MiT.M1);
Df=S-SInt;
X=Log[10,Max[Abs[Flatten[Df]]]]; M=M+X; MC=M/I;
If[X<=MN,MN=X;CMX=1,CMX=CMX+1];
If[Mod[I,q]==0,
M0=M1.Transpose[Eigenvectors[S]]; TX[[I/q]]=X;TM[[I/q]]=MC;TN[[I/q]]=MN,M0=M1]; M0=Esc*M0;
If[And[I>=VL,Mod[I,50]==0,Abs[TM[[(I/q)-50]]-TM[[(I/q)]]]<=0.01,SE<=p-3], SE=SE+1;VL=I+200;
Print[Abs[TM[[(I/q)-50]]-TM[[(I/q)]]]," .En I =",I," pasamos a extraer ", p-1," Valores"];
M0=Transpose[M0]; M0=Take[M0,p-1]; Mi=Take[MiT,p-1]; M0=Transpose[M0];
Mi=Transpose[Mi]; S=Take[Mi,p-1];MiT=Transpose[Mi];p=p-1];
If[And[CMX>=125,X<=-tol], Print[" I = ",I," y X = ",X];
SE=5; ESO=Chop[Reverse[Sort[Eigenvalues[S]]]];Break[]],{I,1,MXI}];

(* CODIGO PARA PRESENTACIÓN DE RESULTADOS *)
EST=Chop[Reverse[Sort[Eigenvalues[S]]]];

If[SE>=5,BM="Buena "; ES=ESO,BM="Mala ";ES=EST];

Print[BM," Convergencia para Eig(S) = ",ES//InputForm];

f=ListPlot[TX,PlotRange->All,PlotJoined->True,PlotStyle->RGBColor[1,0,0],

DisplayFunction->Identity];

g=ListPlot[TM,PlotRange->All,PlotJoined->True,PlotStyle->Dashing[{0.01,0.01}],

DisplayFunction->Identity];

h=ListPlot[TN ,PlotRange->All,PlotJoined->True,DisplayFunction->Identity];

Show[f,g,h,DisplayFunction->$DisplayFunction] (* FIN *)

que aplicado a diversas matrices arbitrarias da resultados como los que presentamos a continuación de modo resumido.

EJEMPLOS

En todos los casos : Matriz arbitraria de dimensión 100

Ejemplo 1 : Valores propios dominantes (8 primeros) obtenidos con Mathematica y ordenados por su valor absoluto

499.2048864703142 21.69083309163059 + 20.5371221620737*I - 29.79616416877816 12.58709153490718 + 25.10073809542122*I 5.660880321353391 + 26.38599826870335*I

499.2048864703142 29.8708156384943; 29.8708156384943, 29.79616416877816 28.07992033897286; 28.07992033897286, 26.98641270433516; 26.98641270433516

R	f0	f1	f2	f3	f4	f5	f6
16.7121	1	0.961057	1	0.942401	0.997501	1	0.0598368

Extrayendo 7 Valores de 100 0.00461366 . En I =900 pasamos a extraer 6 Valores I = 1552 y X = -6.96145 Buena Convergencia para Eig(S) = { 499.2048864703142, 21.69083309163073 +20.53712216207375*I, 21.69083309163069 - 20.53712216207371*I, 12.58709153490723 +25.10073809542124*I, 12.58709153490720 -25.10073809542121*I, -29.79616416877819}

Ejemplo 2 : Valores propios dominantes (7 primeros) obtenidos con Mathematica y ordenados por su valor absoluto

499.5700186929687, 21.45019975014201 + 19.0816395349805*I - 0.570859108751097 + 29.30660846954756*I -14.34441096383628 + 25.91482724706522*I

499.5700186929687 29.61993242977878 ; 29.61993242977878 29.31216778249949 ; 29.31216778249949 28.70923260318748 ; 28.70923260318748

R	f0	f1	f2	f3	f4	f5	f6
16.866	0,996017	1	0,979431	1	0.98961	1	0.0592909

Extrayendo 7 Valores de 100 I = 3422 y X = -3.23175 Buena Convergencia para Eig(S) = { 499.570018692968, 21.4501154330112 + 19.08164182844212*I, 21.45011543301115 - 19.08164182844228*I, -0.5708591087509211 + 29.30660846954771*I, -0.5708591087509701 - 29.30660846954787*I, -14.34441096383627 + 25.91482724706537*I, -14.34441096383633 - 25.91482724706528*I}

Ejemplo 3 : Valores propios dominantes (8 primeros) obtenidos con Mathematica y ordenados por su valor absoluto

499.2048864703142, 21.69083309163059 + 20.5371221620737*I, -29.79616416877816 12.58709153490718 + 25.10073809542122*I, 5.660880321353391 + 26.38599826870335*I,

499.2048864703142, 29.8708156384943 ; 29.8708156384943, 29.79616416877816 28.07992033897286 ; 28.07992033897286 26.98641270433516 ; 26.98641270433516

R	f0	f1	f2	f3	f4	f5	f6
16.7121	1	0.961057	1	0.942401	0.997501	1	0.0598368

Extrayendo 7 Valores de 100 . 0.00461366 . En I =900 pasamos a extraer 6 Valores I = 1552 y X = -6.96145 Buena Convergencia para Eig(S) = { 499.2048864703142, 21.69083309163073 + 20.53712216207375*I, 21.69083309163069 - 20.53712216207371*I, 12.58709153490723 + 25.10073809542124*I, 12.5870915349072 - 25.10073809542121*I, -29.79616416877819}

Ejemplo 4 : Valores propios dominantes (7 primeros) obtenidos con Mathematica y ordenados por su valor absoluto

594.6814773000719 24.44138647365658 -20.77159715856646 + 12.29990043331392*I, -23.34737721030861 21.36518625943099 + 9.146025182921*I

594.6814773000719 24.44138647365658 24.14014911277895 ; 24.14014911277895 23.34737721030861 23.2405025880854 ; 23.2405025880854,

R	f0	f1	f2	f3	f4	f5	f6
24.3309	0.981976	1.	0.995422	0.96716	1.	0.987675	0.0411

Extrayendo 7 Valores de 100 I = 1062 y X = -3.26464 Buena Convergencia para Eig(S) = { 594.6814773000704, 24.44138647365654, 21.36518621770329 - 9.14602520479902*I, 21.36518621770326 + 9.14602520479884*I, -20.77159715856639 + 12.29990043331392*I, -20.77159715856639 - 12.29990043331397*I, -23.34737720983197}

Ejemplo 5 : Valores propios dominantes (9 primeros) obtenidos con Mathematica y ordenados por su valor absoluto

499.5700186929687, 21.45019975014201 + 19.0816395349805*I - 0.5708591087510971 + 29.30660846954756*I - 14.34441096383628 + 25.91482724706522*I - 26.26888706116584 - 11.29657389754994*I

499.5700186929687 29.61993242977878 ; 29.61993242977878 29.31216778249949 ; 29.31216778249949 28.70923260318748 ; 28.70923260318748 28.5948773254073 ; 28.5948773254073

R	f0	f1	f2	f3	f4	f5	f6
16.866	0.996017	1.	0.979431	1.	0.98961	1.	0.0592909

Extrayendo 7 Valores de 100 I = 3422 y X = -3.23175 Buena Convergencia para Eig(S) = { 499.570018692968, 21.4501154330112 + 19.08164182844212*I, 21.45011543301115 - 19.08164182844228*I, - 0.5708591087509211 + 29.30660846954771*I, - 0.5708591087509701 - 29.30660846954787*I, -14.34441096383627 + 25.91482724706537*I, -14.34441096383633 - 25.91482724706528*I}

Ejemplo 6 : Valores propios dominantes (7 primeros) obtenidos con Mathematica y ordenados por su valor absoluto

603.9478431452871, 22.00337317159735 + 9.32417348711021*I, -10.28983079020347 + 19.90396192131854*I, -18.34488255937254 + 12.89745371595267*I

603.9478431452871 24.88342562148805 ; 24.88342562148805 23.89746099790309 ; 23.89746099790309, 22.42496440292185 ; 22.42496440292185

R	f0	f1	f2	f3	f4	f5	f6
24.2711	0.999174	1.	0.938383	1.	0.960377	1.	0.0412013

Extrayendo 7 Valores de 100 0.00619175 .En I =500 pasamos a extraer 6 Valores 0.00946631 .En I =2200 pasamos a extraer 5 Valores I = 2607 y X = -5.67936 Buena Convergencia para Eig(S) = 603.9478431452859, 22.00337317159739 - 9.32417348711024*I, 22.00337317159708 + 9.32417348711025*I, -24.8445323709642 - 1.390712741092632*I, -24.8445323709643 + 1.390712741092607*I

REFERENCIAS Stewart, G.W. Introduction to Matrix Computation. Ed. Academic Press. Orlando. Burden, R.L.; Faires, J.D. Análisis Numérico. Grupo Editorial Iberoamericana, S.A. Mexico. Hämmerlin, G.; Hoffmann K.H., Numerical Mathematics. Ed Springer-Verlag. Wilkinson, J.H.; Rensch, C. Linear Algebra. Ed. Springer-Verlag. Gourlay, A.R.; Watson, G.A.; Computational Methods for Matrix Eigenproblems. Ed. John Wiley & Sons. Jennings. A. Matrix Computation for Engineers and Scientists. Ed. John Wiley & Sons. Hervás, J.A.;Hormaza, M.V.; Hernández, A.;Ajuria, M.B.; Matrices sigma: Aplicación al cálculo de valores y vectores propios. Report SA-12. Departamento de Ingeniería Mecánica, UPV. Wilkinson, J.H.; The Algebraic Eigenvalue Problem. Oxford Sciencie Publications, reprinted Chatelin, F.; Valeurs propres de matrices. Ed Masson;Paris. Golub-Van Loan, Matrix computations.The Johns Hopkins Press. Godement, R.; Algebra. De TECNOS; Madrid. Horn, R.A. ; Matrix Analysis, Cambridge University Press. Parlett, B.N.; The Symmetric Eigenvalue Problem, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ. Robinson, D.J.S. A Course in Linear Algebra with Applications. Ed. World Scientific . Strang, G. Algebra lineal y sus Aplicaciones (Spanish version of the 3rd edition of Linear Algebra). Ed Addison Wesley. Wolfram, S. Mathematica: A System for Doing Mathematics by Computer. Addison-Wesley.