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ECUACIONES DIFERENCIALES DE 2º ORDEN

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA

Consideremos que \(y = F(x, C_1, C_2)\) es la ecuación explícita de una familia de curvas dependientes de dos parámetros \( C_1, C_2\) . Si F es derivable podemos formar el sistema:

    \( y = F(x, C_1, C_2) \; ;\; y' = F'(x, C_1, C_2) \)

Si este sistema define \( C_1 \;y\; C_2\) como funciones implícitas de \( x,y \;e\;y'\) , podremos inscribir:

    \( C_1 = \varphi(x,y,y')\; ;\; C_2 = \psi(x,y,y')\qquad (A) \)

Qué indica que cada curva de la familia vendrá determinada por un \( x,y\) de ella y por la pendiente \( y'\) de la tangente en él.

Volviendo a derivar la ecuación originaria obtenemos:

    \( y" = F"(x, C_1, C_2) \)

Y sustituyendo en estas derivadas los valores de \( C_1 \;y\; C_2\) dados por (A) resulta:

    \( y" = f(x,y,y')\)

Ecuación diferencial de segundo orden que satisfacen todas las curvas de la familia \(F(x, C_1, C_2)\) y que se llama ecuación diferencial de ésta.
Análogamente, si la ecuación de una familia de curvas, dada de forma implícita por

    \( F(x,y,C_1,C_2)= 0\)

Define a y como función uniforme implícita y derivable de \( x, C_1 \;y\; C_2\), podemos hallar \( y \;e\; y'\) derivando dos veces con respecto a x:

    \( F=0\; ; \; F_x + F_y·y' = 0 \; ;\; F^{\:"}_x + 2F_{xy}y'+ F^{\:"}_y y'^2 + F'_y y" = 0 \)

Y eliminando directamente \( C_1 \;y\; C_2\) entre estas tres ecuaciones, obtendremos en general una ecuación diferencial de segundo orden de la forma:

    \( f(x,y,y',y")= 0\)
Que llamaremos igualmente ecuación diferencial de la familia de curvas dada, y esta se llamará familia integral o integral general de la ecuación.

Cuando la ecuación diferencial viene con la \( y"\) despejada la llamaremos normal.
Por lo visto, podemos decir qué la ecuación diferencial de una familia de curvas dependientes de dos parámetros es una ecuación que cumplen todas las curvas de ella, y que se traduce en una propiedad simétrica común, relativa a sus puntos y a los elementos diferenciales de primero y segundo orden, es decir, relativa a la tangente y a la curvatura.

Monografía en trece capítulos, primer capítulo: Ecuaciones diferenciales. Capítulo siguiente Teorema de existencia
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tema escrito por: José Antonio Hervás