CUADRADOS LATINOS Y CUADRADOS GRECOLATINOS
Resultados generales sobre cuadrados mágicos
pueden encontrarse, entre otros muchos libros, en [1] y [2].
En lo que sigue, vamos a mostrar algunos resultados propios. Antes
consideraremos algunas
DEFINICIONES
Cuadrado Latino.- Matriz cuadrada de
orden n en la que cada fila y cada columna son permutaciones de
los elementos de un conjunto finito S compuesto de n elementos
[3], [4].
Cuadrado Latino reducido.- (o Cuadrado
Latino de forma estándar) Si los elementos de su primera
fila y de su primera columna vienen dispuestos en el orden natural
[3].
Transversal de un Cuadrado Latino.-
Es el conjunto\(T = [(i_1, j_1), (i_2, j_2),\cdots ,(i_n, j_n)]\)
formado por n células o elementos del Cuadrado Latino
para el que se cumple que
\(Si: \; i_k \neq i_i , j_k \neq j_i \Rightarrow a_{i_i,j_i} \neq
a_{i,j}, \forall \; k \neq l \quad [3]\)
Cuadrados Latinos ortogonales.- Son
un par de cuadrados latinos, A = ||aij|| ; B = ||bij||
, de orden n tales que :
\((a_{ij}, b_{ij})\neq (a_{kl}, b_{kl})\; \forall (i,j)\neq (k,l);
i,j,k,l \in S = {1,2,\cdots, n} \quad [3], [4]\)
Dos cuadrados latinos de tamaño n son ortogonales si cuando
se superponen uno encima del otro, cada una de las p² parejas
obtenidas ocurre una sola vez.
Un cuadrado latino A, de orden n, tiene otro ortogonal sii en
A existen n transversales disjuntas.
Varios cuadrados latinos de un mismo orden se llaman
ortogonales
dos a dos si cualesquiera dos de ellos son ortogonales..
Un conjunto de n-1 cuadrados latinos mutuamente ortogonales (C.L.M.O.),
(en inglés MOLS), se denomina
completo.
Cuadrado Grecolatino.- (o Cuadrado de
Euler) es el obtenido por la superposición de dos cuadrados
latinos ortogonales entre si [5].
Cuadrado mágico.- es una disposición
de n² números colocados en una tabla de n x n celdas
de tal modo que la suma de todas y cada una sus columnas, filas
o diagonales sea igual a un valor constante. Cuando los números
que se disponen son los incluidos entre 1 y n² , la suma
mágica vale (n)( n² +1)/2.
DESARROLLO
En primer lugar, consideramos la obtención de grupos de
Cuadrados Latinos Ortogonales. Para n primo impar, consideremos
un cuadrado de la forma (1) :
\(\left[
\begin{array}{ccccccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & . & . & . & a_{1n} \\
a_{12} & a_{13} & a_{14} & . & . & a_{1n} & a_{11} \\
a_{13} & a_{14} & . & . & a_{1n} & a_{11}& a_{12} \\
. & . & . & . & . & . & . \\
. & . & . & . & . & . & . \\
. & a_{1n} & & & & & a_{1,n-2} \\
a_{1n} & a_{11} & a_{12}& . & . & a_{1,n-2} & a_{1,n-1} \\
\end{array}
\right]\)
Conocido como matriz de Henkel [6] y que nosotros denominaremos
cuadrado generatriz, por ser el origen de los demás ortogonales
a él y también de otros conjuntos completos.
Para construir (n-2) Cuadrados Latinos Mutuamente Ortogonales
entre sí y con A, obtenemos las imágenes
\(a_{11}^2,a_{12}^2, \cdots, a_{1n}^2,a_{11}^3,a_{12}^3, \cdots,a_{1n}^3 , \cdots,a_{11}^{n-1},a_{12}^{n-1}, \cdots, a_{1n}^{n-1}\)
de los elementos de la primera columna de A considerando dicha
tabla como la de multiplicar de un grupo.
La columna formada con cada conjunto de imágenes,\(a_{11}^i,
a_{12}^i, \cdots, a_{1n}^i \; ;\; 2\leq i\leq n-1\) , será
la que indique la permutación que debemos realizar con
las filas de A para obtener un cuadrado latino ortogonal con A.
La obtención de un Cuadrado Mágico a partir de dos
cuadrados latinos ortogonales,\(A_{nss}^i \; y \; A_{nss}^j\)
, se hace sustituyendo las letras por los números naturales
{0,1,2,...,n-1} en :
\( [1]+ A_{nss}^i + n\ast A_{nss}^j\quad (2)\)
Donde [
1] es una matriz de orden n formada enteramente
por unos y de tal modo que la suma de todas las filas, columnas
y diagonales de\(A_{nss}^i \; y \; A_{nss}^j\)
valgan n(n-1)/2.
Por definición, las filas y columnas de un cuadrado latino
ya suman la cantidad indicada, por lo que la restricción
para el número de cuadrados mágicos obtenibles vendrá
dada por las posibilidades de las diagonales directa e inversa.
EJEMPLO
conjunto completo de Cuadrados Latinos
mutuamente ortogonales (CLMO) para n = 5
Sobre la base de mantener un cuadrado latino reducido, podemos
realizar diversas permutaciones para obtener otros conjuntos completos
de C.L.M.O. Lógicamente, en la posición (2,2) de
(1) no pueden colocarse ni el primero ni el segundo de los elementos,
por lo que tendremos (n-2)! Cuadrados latinos reducidos distintos
pero isomorfos entre sí o transformables unos en otros
por reasignación de sus elementos.
Para n = 5, tenemos :
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
ABCDE
BCDEA
CDEAB
DEABC
EABCD
|
ABCDE
BCEAD
CEDBA
DABEC
EDACB
|
ABCDE
BDECA
CEBAD
DCAEB
EADBC
|
ABCDE
BDAEC
CAEBD
DEBCA
ECDAB
|
ABCDE
BEDAC
CDBEA
DAECB
ECABD
|
ABCDE
BEACD
CADEB
DCEBA
EDBAC
|
Para cada uno de estos (n-2)! cuadrados latinos reducidos y simétricos
se obtienen (n-1)! Cuadrados Latinos equivalentes salvo permutación
de sus filas. La representación de cada uno de los cuadrados
latinos de cada grupo puede hacerse anotando su primera columna
y teniendo en cuenta que el cuadrado completo se obtiene a partir
de\( A_{n1k}^1 \; con \; 1 \leq k \leq (n-2)!\) colocando las
filas según el orden dado por dicha primera columna.
Este artículo continua en el titulado:
CUADRADOS_MÁGICOS
OBTENIDOS A PARTIR DE CUADRADOS LATINOS