Las coordenadas cilíndricas parabólicas
están caracterizadas por los parámetros (u,v,z)
que cumplen, respecto a las coordenadas cartesianas, las siguientes
relaciones:
\(\begin{array}{l}
x = \frac{1}{2}(u^2 - v^2)\;; \; y = u·v \;; \; z = z \\
\\
con \; - \infty < u < +\infty \;; \; v \geq 0 \;; \; - \infty < z < +\infty
\end{array} \)
Supongamos un punto P cuyas coordenadas en un sistema cilíndrico
parabólico son (u,v,z),
según se expresa en el esquema adjunto.
Si mantenemos v y
z constantes, el lugar geométrico de los puntos
P que interceptan sobre dichas coordenadas es la parábola
A. De igual forma, si mantenemos constantes los valores
de u y z, se obtiene la parábola B. Por último,
si u y v no varían, el lugar geométrico
de los puntos P que cumplen dicha condición es
la recta QP.
Las superficies coordenadas "u" y "v"
son cilindros parabólicos y las superficies coordenadas
"z" son planos horizontales.
Los vectores unitarios que definen dichas coordenadas son \(\hat{e}_u
, \hat{e}_v \; y\;\hat{e}_z \) y vienen dados por:
\(\displaystyle \hat{e}_u = \frac{\partial r/\partial u}{|\partial r/\partial u|} \;; \;
\hat{e}_v = \frac{\partial r/\partial v}{|\partial r/\partial v|} \;; \;
\hat{e}_z = \frac{\partial r/\partial z}{|\partial r/\partial z|} \)
Para calcular la expresión de estos vectores, consideramos
el vector de posición del punto P en coordenadas cartesianas
:
\(\vec{r} = x·\hat{i} + y·\hat{j} + z·\hat{k}
\)
y, por lo dicho al principio:
\(\displaystyle \vec{r} = \frac{1}{2}(u^2 - v^2)·\hat{i} + (u·v)·\hat{j} + z·\hat{k} \)
Derivando esta expresión respecto a "u", obtenemos:
\(\displaystyle \frac{\partial \vec{r}}{\partial u} = u·\hat{i} + v·\hat{j} \Rightarrow \left|\frac{\partial \vec{r}}{\partial u}\right| = \sqrt{u^2 + v^2} \)
de donde podemos poner:
\(\displaystyle \hat{e}_u = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}}\left(u·\hat{i} + v·\hat{j}\right)
\)
De igual forma, derivando respecto a "v" obtenemos:
\(\displaystyle \frac{\partial \vec{r}}{\partial v} = - v·\hat{i}
+ u·\hat{j} \Rightarrow \left|\frac{\partial \vec{r}}{\partial
v}\right| = \sqrt{u^2 + v^2} \)
Con lo que resulta:
\(\displaystyle \hat{e}_v = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}}\left(-v·\hat{i}
+ u·\hat{j}\right) \)
Por último, derivando respecto a z nos queda \(\hat{e}_z
= \hat{k}\) .
Conocidas las expresiones que transforman los vectores unitarios,
vamos a obtener la expresión general que transforma cualquier
vector \(\vec{E} \) del espacio:
\(\displaystyle \vec{E} = E_u·\hat{e}_u + E_v·\hat{e}_v + E_z·\hat{e}_z = E_x·\hat{i} + E_y·\hat{j} + E_z·\hat{k} \)
Y sustituyendo los valores de \(\hat{e}_u , \hat{e}_v \; y\;\hat{e}_z
\):
\(\displaystyle \vec{E}= \frac{E_u}{\sqrt{u^2 + v^2}}\left(u·\hat{i} + v·\hat{j}\right)+
\frac{E_v}{\sqrt{u^2 + v^2}}\left(-v·\hat{i} + u·\hat{j}\right)+ E_z·\hat{k} \)
con lo que podemos poner:
\(\displaystyle \begin{array}{l}
E_x = \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}}E_u - \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}}E_v \\
\\
E_y = \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}}E_u + \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}}E_v \\
\\
E_z = E_z
\end{array} \)
O expresado matricialmente:
\(\displaystyle \left( \begin{array}{c} E_x \\\\ E_y \\\\ E_z
\\ \end{array} \right) =\left( \begin{array}{ccc} \frac{u}{\sqrt{u^2
+ v^2}} & -\frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u^2
+ v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array}
\right)\left( \begin{array}{c} E_u \\\\ E_v \\\\ E_z \\ \end{array}
\right) \)
Si deseamos realizar el paso inverso, es decir pasar de coordenadas
cartesianas a cilíndricas parabólicas, desarrollamos
la ecuación:
\(\displaystyle \left( \begin{array}{c} E_u \\\\ E_v \\\\ E_z
\\ \end{array} \right) =\left( \begin{array}{ccc} \frac{u}{\sqrt{u^2
+ v^2}} & -\frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u^2
+ v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array}
\right)^{-1}\left( \begin{array}{c} E_x \\\\ E_y \\\\ E_z \\
\end{array} \right) \)
El vector de posición de una partícula que se mueve
viene expresado en coordenadas cartesianas en la forma:
\(\vec{r}= \vec{r}(t) = x(t)· \hat{i} + y(t)·\hat{j} + z(t)·\hat{k} \)
La velocidad y aceleración, que se definen respectivamente
por la primera y segunda derivada de dicha función con
respecto al tiempo, son fáciles de calcular en coordenadas
cartesianas, puesto que los vectores unitarios \( \hat{i}, \hat{j},
\hat{k} \) son invariantes. De ahí se tiene que las expresiones
de la velocidad y aceleración son, respectivamente :
\(\displaystyle \begin{array}{l}
\frac{d\vec{r}}{dt}= \dot{\vec{r}}(t) =\vec{v} = \dot{x}(t)·
\hat{i} + \dot{y}(t)·\hat{j} + \dot{z}(t)·\hat{k}\\
\\
\frac{d^2\vec{r}}{dt^2}= \ddot{\vec{r}}(t) =\vec{a} = \ddot{x}(t)·
\hat{i} + \ddot{y}(t)·\hat{j} + \ddot{z}(t)·\hat{k}
\end{array}\)
VELOCIDAD Y LA ACELERACIÓN
EN COORDENADAS CILÍNDRICO - PARABÓLICAS
