APLICACIONES DEL CALCULO DIFERENCIAL
La ecuación:
\( \displaystyle (1 - x^2)y^{\prime\prime} - 2x·y^{\prime}
+ 2·y = 0 \)
Tiene una solución válida en el intervalo \( -1
\leq x \leq 1 \) siendo está \( y_1= x\). Encontrar otra
solución válida en dicho intervalo.
RESPUESTA
A partir de la fórmula de Abel-Liouville, tenemos:
\( \displaystyle y_2(x) = y_1\int \frac{\exp \int - p(x)dx}{y_1^2}·dx
\qquad ; \quad siendo\; p(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} \)
Poniendo los valores de nuestro caso tenemos:
\( \displaystyle \exp \int - \frac{-2·x}{1 - x^2}·dx
= \exp \left[- \ln (1 - x^2)\right] = \frac{1}{1 - x^2} \)
Y a partir de ahí:
\( \displaystyle y_2 = x\int \frac{dx}{x^2(1 - x^2)}\qquad (*)
\)
Está integral la podemos resolver cómo sigue, por
el método de los coeficientes indeterminados:
\( \displaystyle \begin{array}{l}
\int \frac{dx}{x^2(1 - x^2)}= \int \left[\frac{A}{x}+ \frac{B}{x^2}
+ \frac{C}{1-x}+ \frac{D}{1+x}\right]dx = \\
\\
= \int \left[\frac{1}{x^2} + \frac{1}{2(1+x)} + \frac{1}{2(1-x)}\right]dx
= \\
\\
= - \frac{1}{x} + \frac{1}{2}·\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)+
C \\
\end{array} \)
Sustituyendo en (*) resulta:
\( \displaystyle \begin{array}{l}
y_2 = x\left[- \frac{1}{x} + \frac{1}{2}·\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)+
C\right] = \\
\\
= \frac{x}{2}·\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)+ C·x
- 1
\end{array} \)
Este tipo de problemas puede resultar a veces más fácil
de resolver cómo sigue. Hemos visto que por la forma la
de Abel- Liouville se llega a una expresión de la forma:
\( \displaystyle y_2 = y_1\int \frac{\exp \int -p(x)dx}{y^2_1}·dx
\Rightarrow y_2 = y_1·v(x) \; ;\; y_2 = x·v(x)
\)
Está expresión debe satisfacer la ecuación
diferencial del enunciado, para lo cual hacemos:
\( \displaystyle \begin{array}{l}
y^{\prime} = v(x) + x·v^{\prime}(x)\; ;\; y^{\prime\prime}
= v^{\prime}(x) + v^{\prime}(x) + \\
\\
+ x·v^{\prime\prime}(x)= 2·v^{\prime}(x) + x·v^{\prime\prime}(x)
\end{array} \)
Sustituyendo en la expresión del enunciado:
\( \displaystyle (1 - x^2)(2·v^{\prime}(x) + x·v^{\prime\prime}(x))
- 2x(v + x·v^{\prime}) + 2x·v = 0 \)
Haciendo operaciones y simplificando resulta:
\( \displaystyle \begin{array}{l}
x(1 - x^2)v^{\prime\prime} + 2(1 - 2·x^2)v^{\prime} =
0 \Rightarrow \\
\\
\Rightarrow v^{\prime\prime} + \frac{2(1 - 2·x^2)}{x(1
- x^2)}·v^{\prime} = 0
\end{array} \)
Ecuación a la que podemos rebajarle el orden haciendo \(
v^{\prime} = z\)
\( \displaystyle z^{\prime} + \frac{2(1 - 2·x^2)}{x(1
- x^2)}·z = 0 \)
Separando variables para integrar:
\( \displaystyle \begin{array}{l}
\int \frac{1}{z}·dz + \int \frac{2(1 - 2·x^2)}{x(1
- x^2)}·dx = K \Rightarrow \\
\\
\Rightarrow \ln z + \ln x(1 - x^2) + \ln x = \ln C
\end{array} \)
Puesto que tenemos:
\( \displaystyle \begin{array}{l}
\frac{2(1 - 2·x^2)}{x(1 - x^2)} = \frac{2 - 4·x^2}{x
- x^3} = \frac{1 - 3·x^2 + 1 - x^2}{x - x^3} = \\
\\
= \frac{1 - 3·x^2}{x - x^3} + \frac{1 - x^2}{x(1 - x^2)}
\end{array} \)
Continuando el problema resulta:
\( \displaystyle z\left[x(1 - x^2)\right]x = C \Rightarrow z
= v^{\prime} = \frac{C}{(1 - x^2)x^2} \)
Así pues, para hallar la solución final debemos
realizar otra nueva integración que nos da:
\( \displaystyle \int dv = \int \frac{C·dx}{(1 - x^2)x^2}
\)
Con lo que hemos llegado a una situación que está
resuelta en la primera parte.A partir de(*)