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MONOGRAFIAS MATEMÁTICAS ~ TEORÍA DIFERENCIAL

UNA APLICACIÓN DE
LA FÓRMULA DE ABEL-LIOUVILLE

APLICACIONES DEL CALCULO DIFERENCIAL


La ecuación:
    \( \displaystyle (1 - x^2)y^{\prime\prime} - 2x·y^{\prime} + 2·y = 0 \)
Tiene una solución válida en el intervalo \( -1 \leq x \leq 1 \) siendo está \( y_1= x\). Encontrar otra solución válida en dicho intervalo.

RESPUESTA


A partir de la fórmula de Abel-Liouville, tenemos:
    \( \displaystyle y_2(x) = y_1\int \frac{\exp \int - p(x)dx}{y_1^2}·dx \qquad ; \quad siendo\; p(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} \)
Poniendo los valores de nuestro caso tenemos:
    \( \displaystyle \exp \int - \frac{-2·x}{1 - x^2}·dx = \exp \left[- \ln (1 - x^2)\right] = \frac{1}{1 - x^2} \)
Y a partir de ahí:
    \( \displaystyle y_2 = x\int \frac{dx}{x^2(1 - x^2)}\qquad (*) \)
Está integral la podemos resolver cómo sigue, por el método de los coeficientes indeterminados:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \int \frac{dx}{x^2(1 - x^2)}= \int \left[\frac{A}{x}+ \frac{B}{x^2} + \frac{C}{1-x}+ \frac{D}{1+x}\right]dx = \\
    \\
    = \int \left[\frac{1}{x^2} + \frac{1}{2(1+x)} + \frac{1}{2(1-x)}\right]dx = \\
    \\
    = - \frac{1}{x} + \frac{1}{2}·\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)+ C \\
    \end{array} \)
Sustituyendo en (*) resulta:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    y_2 = x\left[- \frac{1}{x} + \frac{1}{2}·\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)+ C\right] = \\
     \\
    = \frac{x}{2}·\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)+ C·x - 1
    \end{array} \)
Este tipo de problemas puede resultar a veces más fácil de resolver cómo sigue. Hemos visto que por la forma la de Abel- Liouville se llega a una expresión de la forma:
    \( \displaystyle y_2 = y_1\int \frac{\exp \int -p(x)dx}{y^2_1}·dx \Rightarrow y_2 = y_1·v(x) \; ;\; y_2 = x·v(x) \)
Está expresión debe satisfacer la ecuación diferencial del enunciado, para lo cual hacemos:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    y^{\prime} = v(x) + x·v^{\prime}(x)\; ;\; y^{\prime\prime} = v^{\prime}(x) + v^{\prime}(x) + \\
     \\
    + x·v^{\prime\prime}(x)= 2·v^{\prime}(x) + x·v^{\prime\prime}(x)
    \end{array} \)
Sustituyendo en la expresión del enunciado:
    \( \displaystyle (1 - x^2)(2·v^{\prime}(x) + x·v^{\prime\prime}(x)) - 2x(v + x·v^{\prime}) + 2x·v = 0 \)
Haciendo operaciones y simplificando resulta:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    x(1 - x^2)v^{\prime\prime} + 2(1 - 2·x^2)v^{\prime} = 0 \Rightarrow \\
     \\
    \Rightarrow v^{\prime\prime} + \frac{2(1 - 2·x^2)}{x(1 - x^2)}·v^{\prime} = 0
    \end{array} \)
Ecuación a la que podemos rebajarle el orden haciendo \( v^{\prime} = z\)
    \( \displaystyle z^{\prime} + \frac{2(1 - 2·x^2)}{x(1 - x^2)}·z = 0 \)
Separando variables para integrar:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \int \frac{1}{z}·dz + \int \frac{2(1 - 2·x^2)}{x(1 - x^2)}·dx = K \Rightarrow \\
    \\
    \Rightarrow \ln z + \ln x(1 - x^2) + \ln x = \ln C
    \end{array} \)
Puesto que tenemos:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \frac{2(1 - 2·x^2)}{x(1 - x^2)} = \frac{2 - 4·x^2}{x - x^3} = \frac{1 - 3·x^2 + 1 - x^2}{x - x^3} = \\
    \\
    = \frac{1 - 3·x^2}{x - x^3} + \frac{1 - x^2}{x(1 - x^2)}
    \end{array} \)
Continuando el problema resulta:
    \( \displaystyle z\left[x(1 - x^2)\right]x = C \Rightarrow z = v^{\prime} = \frac{C}{(1 - x^2)x^2} \)
Así pues, para hallar la solución final debemos realizar otra nueva integración que nos da:
    \( \displaystyle \int dv = \int \frac{C·dx}{(1 - x^2)x^2} \)
Con lo que hemos llegado a una situación que está resuelta en la primera parte.A partir de(*)
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Página publicada por: José Antonio Hervás