PROBLEMAS RESUELTOS
DE FISICA
ejercicios resueltos de óptica y ondas

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PROBLEMAS RESUELTOS DE ÓPTICA

Sea la onda plana:
    \( \displaystyle E = (1 , 1 , 1)·\exp i \left[\frac{\sqrt{2}}{2}·k(x-y) - wt\right] \)
Que incide sobre la superficie \( x=0 \) de separación de dos medios de índices de refracción \( n_1 = 1 \; y\; n_2 = 1,6 \). Determínense las expresiones de las ondas reflejada y transmitida, como sus energías.


RESPUESTA DEL EJERCICIO 2

A partir de la expresión de la onda incidente y teniendo en cuenta la ley de Snell:
    \( \displaystyle \varphi = \varphi' = \frac{\pi}{4}\quad ; \quad n_1·\sin \varphi = n_2·\sin \varphi" \Rightarrow \varphi" = 26,2278º \)
Conocidos los ángulos podemos escribir:
    \(\sin \varphi = 0,71 \quad ; \quad \cos \varphi = 0,71 \quad ; \quad \sin \varphi" = 0,0,442 \quad ; \quad \cos \varphi" = 0,897 \)
Por otro lado, sabemos qué \( A_p \) es la componente del campo eléctrico contenida en el plano de incidencia y \( A_a \) es la componente perpendicular a dicho plano. El plano de incidencia es el que contiene al vector de propagación, \( s = (\sqrt{2}/2, -\sqrt{2}/2 , 0) \) y a la normal a la superficie de separación de los dos medios (plano \( YZ, x= 0\)) por lo tanto, el plano de incidencia es el plano \( z=0\) teniendo esto en cuenta:
    \( A_p = |(1,1,0)| = A_\parallel= \sqrt{2}\quad ; \quad A_a = |(0,0,1| = A_\perp = 1 \)
Podemos aplicar entonces las fórmulas de Fresnel:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    A'_p = \frac{n_2·\cos \varphi - n_1·\cos \varphi"}{n_2·\cos \varphi + n_1·\cos \varphi"}·A_p = r_\parallel·A_p = -0,1155·A_p \\
     \\
    A"_p = \frac{2·n_1·\cos \varphi}{n_2·\cos \varphi + n_1·\cos \varphi"}·A_p = t_\parallel·A_p = 0,6972·A_p \\
     \\
    A'_a = \frac{n_1·\cos \varphi - n_2·\cos \varphi"}{n_2·\cos \varphi + n_1·\cos \varphi"}·A_a = r_\parallel·A_p = -0,3399·A_p \\
     \\
    A"_a = \frac{2·n_1·\cos \varphi}{n_1·\cos \varphi + n_2·\cos \varphi"}·A_a = t_\parallel·A_a = 0,6601·A_a
    \end{array} \)
Las expresiones para las ondas reflejada y transmitida serán entonces:
    \( \displaystyle \left.
    \begin{array}{l}
    E"_\parallel = E_\parallel r_\parallel = \sqrt{2}(-0,1155)·e^{-i \phi"} = - 0,1633·e^{- i \phi"} \\
     \\
    E"_\perp = E_\perp r_\perp = 1·(-0,3399)·e^{- i \phi"} = - 0,3399·e^{- i \phi"} \\
    \end{array}
    \right\}\quad REFLEJADA \)
Y escribiéndolas en forma vectorial:
    \(\begin{array}{l}
    \left.
    \begin{array}{l}
    E"_\parallel = E_\parallel r_\parallel = 0,1155(1 , -1 , 0)·e^{-i \phi"} \\
     \\
    E"_\perp = E_\perp r_\perp = -0,3399(0 , 0 , 1)·e^{- i \phi"} \\
    \end{array}
    \right\}\Rightarrow \\
     \\
    \Rightarrow \vec{E}"(x,y,t) = (0,1155 , -0,1155 , -0,3399)e^{- i \phi"}
    \end{array} \)
Dónde en todos los casos hemos escrito:
    \( \displaystyle e^{ - i \phi"} = \exp -i\left[wt + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}k(x+y)\right)\right] \)
Para la onda transmitida tenemos primero que el vector director es de la forma:
    \( \vec{s}' = \cos \varphi'·\vec{u}_x - \sin \varphi'·\vec{u}_y = 0,897·\vec{u}_x - 0,442·\vec{u}_y \)
Según eso, tendremos:
    \( e^{i \phi'} = \exp i[wt - k(0,897· - 0,442·y)]i \)
Por lo que resulta:
    \( \left.
    \begin{array}{l}
    E'_\parallel = E_\parallel t_\parallel = \sqrt{2}\times0,6972\times e^{i \phi'} = 0,986·^{i \phi'} \\
     \\
    E'_\perp = E_\perp t_\perp = 1\times0,6601\times e^{i \phi'} = 0,6601·^{i \phi'} \\
    \end{array}
    \right\}\quad ONDA\quad TRANSMITIDA \)
Y empleando la notación vectorial:
    \(\begin{array}{l}
    E'_\parallel = 0,986(\cos \varphi" , -\sin \varphi " , 0)e^{i \phi'} = 0,986(0,442 , -0,897 , 0)e^{i \phi'} \\
     \\
    \vec{E}'_\perp = 0,6601(0 , 0 , 1)e^{i \phi'} \Rightarrow E'(x,y,t)= (0,436 , -0,884 , 0,660)e^{i \phi'}
    \end{array} \)
Para obtener las energías de cada una de las ondas podemos operar cómo sigue:
Sea \( \xi_o \) la energía de la onda incidente. Su valor es proporcional al cuadrado de su amplitud que es \( \sqrt{3} \) por otro lado, amplitudes de las componentes \( E_\parallel \; y \; E_\perp \) son respectivamente \( \sqrt{2} \). En consecuencia:
    \( \displaystyle \xi_o = \xi_\parallel + \xi_\perp = \frac{2}{3} \xi_o + \frac{1}{3} \xi_o \)
Con
    \( \displaystyle \xi_\parallel = \frac{2}{3} \xi_o \quad , \quad \xi_\perp = \frac{1}{3} \xi_o \)
Introducimos ahora los coeficientes de transmitancia y reflectancia dados por:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \mathfrak{T}_\parallel = \frac{\sin 2\varphi ·\sin 2\varphi"}{\sin^2(\varphi + \varphi")\cos^2(\varphi - \varphi")} = \frac{Q"_\parallel}{Q_\parallel}\\
     \\
    \mathfrak{T}_\perp = \frac{\sin 2\varphi ·\sin 2\varphi"}{\sin^2 (\varphi + \varphi")} = \frac{Q"_\perp}{Q_\perp} \\
     \\
    R_\parallel = \frac{\tan^2(\varphi - \varphi")}{\tan^2 (\varphi + \varphi")} = \frac{Q'_\parallel}{Q_\parallel} \\
     \\
    R_\perp = \frac{\sin^2(\varphi - \varphi")}{\sin^2 (\varphi + \varphi")} = \frac{Q'_\perp}{Q_\perp}
    \end{array} \)
Siendo:
    \( \begin{array}{l}
    Q'_\parallel = n_1|A'_\parallel|^2\cos \varphi' \; ; \;Q"_\parallel = n_2|A"_\parallel|^2\cos \varphi" \; ; \;Q_\parallel = n_1|A_\parallel|^2\cos \varphi \\
     \\
    Q'_\perp = n_1|A'_\perp|^2\cos \varphi' \; ; \;Q"_\perp = n_2|A"_\perp|^2\cos \varphi" \; ; \;Q_\perp = n_1|A_\perp|^2\cos \varphi
    \end{array} \)
La energía reflejada vendrá dada por:
    \( \displaystyle \left.
    \begin{array}{l}
    \xi"_\parallel = \mathfrak{R}_\parallel\xi_\parallel = \frac{2}{3}\times 0,0133·\xi_o = 0,0089·\xi_o \\
     \\
    \xi"_\perp = \mathfrak{R}_\perp\xi_\perp = \frac{1}{3}\times 0,01155·\xi_o = 0,0385·\xi_o \\
    \end{array}
    \right\}\quad \xi" = 0,0474·\xi_o \Rightarrow 4,74 \textrm{%} \)
Y la energía transmitida:
    \( \displaystyle \left.
    \begin{array}{l}
    \xi'_\parallel = \mathfrak{T}_\parallel\xi_\parallel = \frac{2}{3}\times 0,9867·\xi_o = 0,6578·\xi_o \\
     \\
    \xi'_\perp = \mathfrak{T}_\perp\xi_\perp = \frac{1}{3}\times 0,8845·\xi_o = 0,2948·\xi_o \\
    \end{array}
    \right\}\quad \xi' = 0,9526·\xi_o \Rightarrow 95,26 \textrm{%} \)

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Página publicada por: José Antonio Hervás