PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de teoría de isomorfismo de grupos

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Problemas de teoría de grupos

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Sean dos elementos a, b que engendran un grupo de orden 6 que cumple, con notación multiplicativa, las siguientes condiciones:
    \(a^3 = b^2 = (ab)^2 = e \; \; ; \; \; ba = a^2 b \)
Hallar el grupo engendrado y formar la tabla. Obtener los subgrupos.

RESPUESTA DEL EJERCICIO 30

La tabla correspondiente es:
    \(\begin{matrix} & e & a & b & a^2 & a\,b & b\,a \\ \\ e & e & a & b & a^2 & a\,b & b\,a \\ \\ a & a & a^2 & a\, b & e & b\, a & b \\ \\b & b & b\,a & e & a\,b & a^2 & a \\ \\ a^2 & a^2 & e & b\,a & a & b & a\, b \\ \\ a\,b & a\, b & b & a & b\, a & e & a^2 \\ \\ b\, a& b\, a & a\, b& a^2 & b & a & e \end{matrix}\)
Observaciones:
Al operar \( a \) consigo mismo obtenemos un nuevo elemento, \(a^2 \), y lo colocamos en la tabla. Hacemos de igual modo al obtener ab y ba. En esas condiciones no debe aparecer ningún elemento nuevo puesto que nos han dicho que el grupo engendrado es de orden seis.
    \(a ˇ a\,b = a^2 b = b\, a \; ; \; a\, b ˇ a = aˇ b ˇ a = a ˇ a^2 b = a^3 ˇ b = e ˇ b = b \)

    \( b ˇ a^2 = b ˇ a ˇ a = a^2 b ˇ a = a^2 ˇ b\,a = a^2 ˇ a^2 b = a^3 ˇ a\,b = e ˇ a\,b = a\, b \)
    \(bˇ a\,b = (b\,a)b = a^2 b ˇ b = a^2 ˇ b^2 = a^2 ˇ e = a^2 \)

    \(bˇ b\,a = b^2 ˇ a = e ˇ a = a \)


    \(a^2 ˇ b\,a = a^2 ˇ a^2 b = a^3 ˇ a\,b = e ˇ a\,b = a\,b\)

    \(a\,b ˇ a = a ˇ b\,a = a ˇ a^2 b = a^3 b = e ˇ b = b\)


    \(a\, b ˇ b = a ˇ b^2 = a ˇ e = a \)

    \(a\, b ˇ a^2 = a (b\,a) = a (a^2 b) a = a^3 ˇ b ˇ a = b ˇ a = b \, a \)

    \((b\,a)a = (a^2 b)a = a^2 b \, a = a^2 ˇ a^2 b = a^3 ˇ a\,b = e ˇ a\,b = a\, b\)
    \((b\,a) ˇ (a\, b) = (a^2 b) ˇ (a\, b) = a^2 ˇ b\,a ˇ b = a^2 ˇ a^2 b ˇ b = a^3 ˇ a ˇ b^2 = a \)

    \( (ba)ˇ (ba) = (a^2 b) ˇ b\,a = a^2 b \, b \, a = a^2 \, b^2\, a = a^2 \,e\,a = a^2 \, a = a^3 = e \)
Los subgrupos propios que podemos obtener son:
De orden 2:
    \((e \; , \; b) \; ; \; (e \; , \; ab) \; ; \; (e \; , \; ba) \)
De orden 3:
    \((e \; ,\; a\;, \; a^2) \)
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Página publicada por: José Antonio Hervás