PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de teoría de grupos

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Problemas de teoría de grupos

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Siendo p un número primo, se designa por M el conjunto Zp – {0} provisto de la multiplicación de enteros módulo p, y por A el grupo aditivo Zp-1.
a) Demostrar que M es un grupo abeliano
b) Suponiendo que p valga 11, demostrar que \( \bar{2} \) engendra a M.
c) Determinar todos los elementos módulo 11 que engendran M
d) Demostrar, para p = 11, que A y M son isomorfos.
RESPUESTA DEL EJERCICIO 5

En general, el conjunto Zn dotado e la suma y el producto de clases es un anillo, pero en el caso particular de que n sea primo, entonces Zn es un cuerpo y, por tanto, será grupo abeliano para la segunda ley:
    \( \bar{a} ˇ \bar{b} = \overline{ab} = \overline{ba} = \bar{b} ˇ \bar{a} \) aˇ b = ab = ba bˇa
Veamos si para p = 11 el elemento \( \bar{2} \) engendra a M:
    \(¿(2) = M = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\} ? \Rightarrow (2) = \{ 2^k \; \; / \; \; k \in Z \}\)
y tenemos :
    \(\begin{array}{l}
    2^0 = 1 ; 2^1 = 2 ; 2^2 = 4 ; 2^3 = 8 ; 2^4 = 5 ; \\
     \\
    2^5 = 10 ; 2^6 = 9 ; 2^7 = 7 ; 2^8 = 3 ; 2^9 = 6
    \end{array} \)
Los enteros módulo 11 que engendren M serán aquellos que cumplan:
    \( m.c.d.(10, k) = 1 \Rightarrow k = 1, 3, 7, 9\)
por lo tanto, los generadores serán:
    \( 2^1 = 2 ; 2^3 = 8 ; 2^7 = 7 ; 2^9 = 6 \)
Para el último apartado vamos a ver que para p = 11, A y M son isomorfos:
A = Z10 , grupo cíclico (aditivo) de orden 10
M = Z11 – {0} , grupo cíclico (multiplicativo) de orden 10
Los dos grupos son del mismo orden, por lo tanto, según el teorema de Cayley, son isomorfos al grupo simétrico S10 y, en consecuencia, isomorfos entre si. La biyección la podemos construir haciendo corresponder a un generador de A un generador de M:
    \( \varphi : A \Rightarrow M \; \; ; \; \; \varphi (1) = 2 \)
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Página publicada por: José Antonio Hervás