PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de Espacios Vectoriales

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Problemas de álgebra lineal

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Sea el espacio vectorial \( R^3 \); si desea conocer la matriz asociada a un operador f en una base de referencia \( (u_1 , u_2 , u_3) \), sabiendo que el núcleo está engendrado por el vector (1, 2, 3), el que se tiene:
    \( f(u_2) = (1, 0, -1)\quad ; \quad f(u_3)= (2, 1, 4) \)
Siendo \( u_2 \; y \; u_3 \) vectores de la base dada.

RESPUESTA DEL EJERCICIO 80

Con los datos que nos han dado podemos determinar la imagen de \( u_1 \); para ello, tenemos:
    \( \forall \: x \in Ker \:f , x \in R^3 \Rightarrow x = \alpha ·u_1 + \beta ·u_2 + \gamma ·u_3\)
Cómo se tiene que \( x \in Ker \:f \) , entonces x = (1, 2, 3) y podemos poner:
    \( (1,2,3) = u_1 + 2·u_2 + 3·u_3 \)
De dónde tenemos:
    \( \begin{array}{l}
    f(1,2,3) =0 = f(u_1) + 2·f(u_2) + 3·f(u_3) = \\
     \\
    = f(u_1) + 2(1,0,-1) + 3(2,1,4)
    \end{array} \)
Y despejando \( f(u_1) \) nos queda:
    \( f(u_1) = (0,0,0) - 2(1,0,-1) - 3(2,1,4) = (-8,-3,-10) \)
Por lo que la matriz de transformación será:
    \( M = \left(
    \begin{array}{ccc}
    -8 & 1 & 2 \\
    -3 & 0 & 1 \\
    -10 & -1 & 4 \\
    \end{array}
    \right) \)
Ejercicios resueltos de álgebra lineal - problemas resueltos de espacios vectoriales
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Página publicada por: José Antonio Hervás