PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de Espacios Vectoriales

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Sea f el endomorfismo de \( V^{\:3}\;en \;V^{\:4} \) dado por las ecuaciones:
    \( \begin{array}{l}
    f(v_1)= v_1+v_2-v_3 \\
     \\
    f(v_2) = 2·v_1+v_2-v_4 \\
     \\
    f(v_3) = v_1+v_3-v_4
    \end{array} \)
Hallar las ecuaciones implícitas, paramétricas y cartesianas de Ker f e Im f. Factorizar f canónicamente.

RESPUESTA DEL EJERCICIO 79

La ecuación matricial de la transformación será de la forma:
    \( \left(
    \begin{array}{c}
    v_1 \\
    v_2 \\
    v_3 \\
    v_4 \\
    \end{array}
    \right)\left(
    \begin{array}{ccc}
    a_{11} &a_{12} &a_{13} \\
    a_{21} &a_{22} &a_{23} \\
    a_{31} &a_{32} &a_{33} \\
    a_{41} &a_{42} &a_{43} \\
    \end{array}
    \right)\left(
    \begin{array}{c}
    u_1 \\
    u_2 \\
    u_3 \\
    \end{array}
    \right)\Rightarrow \left(
    \begin{array}{c}
    v_1 \\
    v_2 \\
    v_3 \\
    v_4 \\
    \end{array}
    \right)\left(
    \begin{array}{ccc}
    1 &2 & 1 \\
    1 &1 &0 \\
    -1 &0 &1 \\
    0 &-1 &-1 \\
    \end{array}
    \right)\left(
    \begin{array}{c}
    u_1 \\
    u_2 \\
    u_3 \\
    \end{array}
    \right) \)
Esta matriz de cambio ha de cumplir la relación:
    \(\left(
    \begin{array}{cccc}
    a_{11} &a_{21} &a_{31} &a_{41} \\
    a_{12} &a_{22} &a_{32} &a_{42} \\
    a_{13} &a_{23} &a_{33} &a_{43} \\
    \end{array}
    \right)\left(
    \begin{array}{c}
    v_1 \\
    v_2 \\
    v_3 \\
    v_4 \\
    \end{array}
    \right) = \left(
    \begin{array}{c}
    f(u_1) \\
    f(u_2) \\
    f(u_3) \\
    \end{array}
    \right)\)
Teniendo la matriz de transformación, podemos calcular la dimensión de Im f que será igual que el rango de dicha matriz.
La mayor submatriz cuadrada de determinante no nulo encontramos, es de orden 2, por ejemplo:
    \( \left|
    \begin{array}{cc}
    1 & 2 \\
    1 & 1 \\
    \end{array}
    \right| = -1 \neq 0 \; \Rightarrow \;r(A) = 2 \Rightarrow r(f) = 2
    \)
Son, por tanto, necesarios dos vectores para describir totalmente en subespacio Im f:
    \( Im\: f = \{(1,1,-1,0) , (1,0,1,-1)\} \)
Calculamos ahora las ecuaciones paramétricas de dicho subespacio:
    \( (x_1, x_2, x_3, x_4)= \alpha(1,1,-1,0) +\beta (1,0,1,-1) \)
De dónde se tiene:
    \( \begin{array}{l}
    x_1 = \alpha + \beta \\
    x_2 = \alpha \\
    x_3 = -\alpha + \beta \\
    x_4 = -\beta
    \end{array} \)
De estas ecuaciones paramétricas debemos obtener dos ecuaciones cartesianas que son las que necesitamos:
    \( \begin{array}{l}
    x_2 + x_3 + x_4 = 0 \\
    x_1 - x_2 + x_4 = 0
    \end{array} \)
Vamos a determinar ahora la dimensión y actuaciones que caracterizan a Ker f según el teorema fundamental de las aplicaciones lineales, se tiene:
    \(Dim Ker \:f + Dim Im \:f = 3 \Rightarrow Dim Ker\: f + 2 = 3 \Rightarrow Dim Ker\: f = 1 \)
Necesitamos, por lo tanto, 2 ecuaciones cartesianas para describir este subespacio:
    \( \left(
    \begin{array}{c}
    0 \\
    0 \\
    0 \\
    0 \\
    \end{array}
    \right) = \left(
    \begin{array}{ccc}
    1 & 2 & 1 \\
    1 & 1 & 0 \\
    -1 & 0 & 1 \\
    0 & -1 & -1 \\
    \end{array}
    \right)\left(
    \begin{array}{c}
    x_1 \\
    x_2 \\
    x_3 \\
    \end{array}
    \right)\quad \left\{
    \begin{array}{l}
    x_1+2x_2+x_3 = 0 \\
     \\
    x_1+x_2 = 0 \\
    \end{array}
    \right.\)
Teniendo las ecuaciones cartesianas vamos a determinar una base de dicho subespacio. Los vectores dónde comprar relaciones anteriores, no tanto, podemos poner:
    \( \begin{array}{l}
    x_1 + 2x_2 = -x_3 \\
    x_1 + x_2 + = 0
    \end{array} \)
De dónde se tiene:
    \( \displaystyle x_1 = \frac{\left|
    \begin{array}{cc}
    -x_3 & 2 \\
    0 & 1 \\
    \end{array}
    \right|
    }{ \left|
    \begin{array}{cc}
    1 & 2 \\
    1 & 1 \\
    \end{array}
    \right|}\quad ; x_1 = \frac{\left|
    \begin{array}{cc}
    1 & -x_3 \\
    1 & 0 \\
    \end{array}
    \right|
    }{ \left|
    \begin{array}{cc}
    1 & 2 \\
    1 & 1 \\
    \end{array}
    \right|} ; x_1 = x_3 \; ;\; x_2 = -x_3 \)
Si damos, por ejemplo, a \( x_3 \) el valor 1, una base de Ker f será: (1,-1,1).
Vamos ahora a factorizar canónicamente la aplicación f. Para ello definimos una relación de equivalencia en la forma:
    \( u \Re v \Leftrightarrow u-v \in Ker \:f \Leftrightarrow u = v + Ker\: f \)
Considerando dicha relación, el espacio cociente será de la forma:
    \( V_3/Ker \:f = \{(x_1,x_2,x_3)+ Ker \:f \:/\:(x_1,x_2,x_3)\in V_3\} \)

Para descomponer canónicamente f debemos considerar:


La aplicación s la definimos en la forma:

    \( \begin{array}{l}
    s \::\: V_3 \rightarrow V_3 \:/\: Ker \:f \\
     \\
    (x_1,x_2,x_3) \rightarrow (x_1,x_2,x_3) = (x_1,x_2,x_3) + \lambda(1,-1,1)
    \end{array} \)
La aplicación b la definimos en la forma:
    \( \begin{array}{l}
    b \::\: V_3 \rightarrow Im\: f \\
     \\
    (\overline{x_1,x_2,x_3}) \rightarrow f(x_1,x_2,x_3)
    \end{array} \)
Ya que se tiene:
    \( f[(x_1,x_2,x_3)+ Ker\: f ] = f(x_1,x_2,x_3)+ f(Ker\: f) = f(x_1,x_2,x_3) \)
Por último, la aplicación i está definida en la forma:
    \( i\: :\: Im f \rightarrow V_4 \)
Por lo tanto, la aplicación f factorizada canónicamente será:
    \( \begin{array}{l}
    f(x_1,x_2,x_3) = i[b\{s(x_1,x_2,x_3)\}] = i[b(x_1,x_2,x_3)] = \\
     \\
    = i[f(x_1,x_2,x_3)] = f(x_1,x_2,x_3)
    \end{array} \)
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Página publicada por: José Antonio Hervás