PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de Espacios Vectoriales

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Problemas de álgebra lineal

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Sea aplicación f de \( R^3 \; en \; R^3 \) dada por:
    \(f(x_1 , x_2 , x_3) = (x_1-x_2+2x_3 , 2x_1+x_2 , -x_1-2x_2+2x_3)\)
Determinar su rango y el nucleo.

RESPUESTA DEL EJERCICIO 78

Escribiendo matricialmente la transformación, tenemos:
    \( \ \left(
    \begin{array}{ccc}
    1 & -1 & 2 \\
    2 & 1 & 0 \\
    -1 & -2 & 2 \\
    \end{array}
    \right)\left(
    \begin{array}{c}
    x \\
    y \\
    z \\
    \end{array}
    \right) = \left(
    \begin{array}{c}
    x-y+2z \\
    2x+y \\
    -x-2y+2z \\
    \end{array}
    \right) \)
Los transformados de la base canónica vendrán dados por las columnas de la matriz, es decir:
    \( \begin{array}{c}
    f(1,0,0) = (1,2,-1) \\
     \\
    f(0,1,0) = (-1,1,-2) \\
     \\
    F(0,0,1) = (2,0,2)
    \end{array} \)
El rango de la aplicación es el rango de la matriz determinada por los vectores linealmente independientes. Puesto que conocemos la matriz de transformación, podemos hacer:
    \( |A|= 0 ; \left|
    \begin{array}{cc}
    2 & 1 \\
    -1 & -2 \\
    \end{array}
    \right| \neq 0 \Rightarrow r(A) = 2 \Rightarrow r(f) = 2 \)
Una base de este subespacio se obtiene tomando dos vectores columna:
    \( Im\: f = \{\alpha(-1,1,-2) + \beta (2,0,2)\} \)
Para calcular el núcleo se ha de cumplir:
    \(Dim Ker \:f + Dim Im \:f = 3 \Rightarrow Dim Ker\: f + 2 = 3 \Rightarrow Dim Ker\: f = 1 \)
Para determinar Ker f debemos obtener, por tanto, 2 ecuaciones cartesianas:
    \( \left(
    \begin{array}{ccc}
    1 & -1 & 2 \\
    2 & 1 & 0 \\
    -1 & -2 & 2 \\
    \end{array}
    \right)\left(
    \begin{array}{c}
    x_1 \\
    x_2 \\
    x_3 \\
    \end{array}
    \right) = \left(
    \begin{array}{c}
    0 \\
    0 \\
    0 \\
    \end{array}
    \right) \Rightarrow \begin{array}{l}
    x_1-x_2+2x_3 = 0 \\
     \\
    2x_1 + x_2 = 0
    \end{array} \)
Ejercicios resueltos de álgebra lineal - problemas resueltos de espacios vectoriales
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Página publicada por: José Antonio Hervás