PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de Espacios Vectoriales

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Problemas de álgebra lineal

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Sea E la aplicación lineal de \( R^3 \; en \; R^4 \) determinada por la matriz:
    \( A = \left(
    \begin{array}{ccc}
    1 & 2 & 3 \\
    2 & 4 & 6 \\
    -1 & -4 & 11 \\
    2 & 8 & -2 \\
    \end{array}
    \right) \)
Cuándo \( R^3 \; y \; R^4 \) están referidos a sus bases canónicas.
Calcular las dimensiones de Im f y Ker f quitar una base de Ker f

RESPUESTA DEL EJERCICIO 77

La dimensión de Im f la calculamos determinando el rango de la matriz de transformación:
    \( r(A) = \left|
    \begin{array}{ccc}
    1 & 2 & 3 \\
    -1 & -4 & 11 \\
    2 & 8 & -2 \\
    \end{array}
    \right| = -40 \Rightarrow r(A) = 3\)
La dimensión de Im f es, según eso, 3 y, por lo tanto, son necesarios tres vectores para determinar una base de dicho subespacio. Tomando los tres vectores columna de la matriz, tendremos una base de Im f :
    \( \{(1,2,-1,2) , (2,4,-4,8) , (3,6,11,-2)\} \)
Por el teorema fundamental de las aplicaciones lineales tendremos:
    \(Dim Ker \:f + Dim Im \:f = Dim R^3 \Rightarrow Dim Ker\: f + 3 = 3 \Rightarrow Dim Ker\: f = 0 \)
Sí la dimensión de Ker f = 0, solo pertenece a dicho subespacio el vector (0, 0, 0).
Ejercicios resueltos de álgebra lineal - problemas resueltos de espacios vectoriales
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Página publicada por: José Antonio Hervás