PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de Espacios Vectoriales

Ver enunciado del ejercicio en:

Problemas de álgebra lineal

Estás en :
Matemáticas y Poesía >

Problemas resueltos

Sea la ecuación matricial:
    \( Y = \left(
    \begin{array}{ccc}
    1 & 2 & -1 \\
    2 & 4 & 3 \\
    -1 & -2 & 6 \\
    \end{array}
    \right)·X \)
Aquella que representa un endomorfismo de un espacio vectorial V; y sea:
    \( X = \left(
    \begin{array}{ccc}
    1 & 2 & 3 \\
    0 & 1 & 1 \\
    0 & 1 & 2 \\
    \end{array}
    \right)·\bar{X} \)
La ecuación de un cambio de coordenadas.
Escribir la ecuación del endomorfismo en las coordenadas de \( \bar{X} \)

RESPUESTA DEL EJERCICIO 76

Mediante el endomorfismo transformamos cualquier vector de V, y mediante el cambio de base transformamos las coordenadas. Según eso, se cumplirán las siguientes ecuaciones matriciales:
    \( Y = A·X\quad ; \quad X = P·\bar{X} \quad ; \quad Y = P·\bar{Y} \)
Dónde A y P son las matrices del endomorfismo y en cambio de coordenadas, respectivamente.
En la primera de las ecuaciones sustituimos los valores de X e Y datos por las segundas, nos queda:
    \( P·\bar{Y} = A·P·\bar{X} \Rightarrow P^{-1}·P·\bar{Y} = P^{-1}·A·P·\bar{X} \Rightarrow \bar{Y} = (P^{-1}·A·P)·\bar{X} \)
Y por tanto, la matriz buscada será:
    \( P^{-1}·A·P = \left(
    \begin{array}{ccc}
    1 & -1 & -1 \\
    0 & 2 & -1 \\
    0 & -1 & 1 \\
    \end{array}
    \right)\left(
    \begin{array}{ccc}
    1 & 2 & -1 \\
    2 & 4 & 3 \\
    -1 & -2 & 6 \\
    \end{array}
    \right)\left(
    \begin{array}{ccc}
    1 & 2 & 3 \\
    0 & 1 & 1 \\
    0 & 1 & 2 \\
    \end{array}
    \right) = \left(
    \begin{array}{ccc}
    0 & -10 & -20 \\
    5 & 20 & 25 \\
    -3 & -9 & -9 \\
    \end{array}
    \right) \)
Ejercicios resueltos de álgebra lineal - problemas resueltos de espacios vectoriales
Otros usuarios de Matemáticas y poesía también han visto:




Página publicada por: José Antonio Hervás