PROBLEMAS RESUELTOS
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ejercicios resueltos de Espacios Vectoriales

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Problemas de álgebra lineal

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Determinar en \( R_4 \) una base del subespacio definido por las ecuaciones:
    \( \begin{array}{l}
    x_1 - 3·x_2 - x_3 - 2·x_4 = 0 \\
     \\
    x_1 - x_2 + 3·x_3 - x_4 = 0
    \end{array} \)
¿Cuál es el subespacio complementario?

RESPUESTA DEL EJERCICIO 75

Un vector cualquiera del subespacio definido por las anteriores ecuaciones se puede poner:
    \( w = (x_1, x_2, x_3, x_4) \)
Pero, cómo se tiene:
    \(\left.
    \begin{array}{l}
    x_1-3x_2-x_3-2x_4 = 0 \\
     \\
    x_1-x_2-3x_3-x_4 = 0 \\
    \end{array}
    \right\}2x_2 + 4x_3 + x_4 = 0 \Rightarrow x_4=-2x_2-4x_3 \)
Y, por otro lado, podemos poner:
    \( x_1=3x_2+x_3+2x_4=3x_2+x_3+ 2(-2x_2-4x_3)= -x_2-7x_3 \)
Nos queda finalmente:
    \( w = (x_1, x_2, x_3, x_4) = (-x_2-7x_3 , x_2 , x_3 , -2x_2-4x_3) \)
expresión que podemos escribir:
    \(w = \left(
    \begin{array}{c}
    -x_2-7x_3 \\
    x_2 \\
    x_3 \\
    -2x_2-4x_3 \\
    \end{array}
    \right) = \left(
    \begin{array}{c}
    -1 \\
    1 \\
    0 \\
    -2 \\
    \end{array}
    \right)x_2 + \left(
    \begin{array}{c}
    -7 \\
    0 \\
    1 \\
    -4 \\
    \end{array}
    \right)x_3 \)
De ahí que el sistema:
    \( \{(-1,1,0,-2), (-7,0,1,-4)\} \)
Sea una base del subespacio considerado.
El subespacio suplementario deberá tener dimensión 2, pues se ha de cumplir:
    \( \begin{array}{l}
    Dim R_4 + Dim(U\cap W ) = Dim U + Dim W \Rightarrow\\
     \\
    4 + 0 = 2 + Dim W \Rightarrow Dim W = 2
    \end{array} \)
Son, por tanto, necesarios dos vectores para determinar una base de vicio subespacio. Estos dos vectores, junto con los dos de la base del subespacio que estamos considerando, formarán una base de \( R_4 \), es decir que sea de cumplir:
    \( \left|
    \begin{array}{cccc}
    -1 & 1 & 0 & -2 \\
    -7 & 0 & 1 & -4 \\
    x_1 & x_2 & x_3 & x_4 \\
    x^'_1 & x^'_2 & x^'_3 & x^'_4 \\
    \end{array}
    \right| \neq 0 \)
Para obtener los dos vectores linealmente independientes con los ya conocidos, vamos a hacerlo por partes; primero, determinamos uno de ellos, linealmente independiente con los dos primeros:
    \( \left(
    \begin{array}{cccc}
    -1 & 1 & 0 & -2 \\
    -7 & 0 & 1 & -4 \\
    x_1 & x_2 & x_3 & x_4 \\
    \end{array}
    \right) \Rightarrow r(M) = 3 \)
Si consigue determinante de una su matriz cuadrada de orden 3 no sea duro dando, por ejemplo, los valores:
    \( x_1 = x_2 = x_3 = x_4 = 1 \)
Temiendo entonces tres vectores linealmente independientes, podemos determinar el cuarto mediante:
    \( \left|
    \begin{array}{cccc}
    -1 & 1 & 0 & -2 \\
    -7 & 0 & 1 & -4 \\
    1 & 1 & 1 & 1 \\
    x^'_1 & x^'_2 & x^'_3 & x^'_4 \\
    \end{array}
    \right| \neq 0 \)
Y desarrollando el determinante por los menores complementarios, tenemos:
    \(- \left|
    \begin{array}{ccc}
    0 & 1 & -4 \\
    1 & 1 & 1 \\
    x^'_2 & x^'_3 & x^'_4 \\
    \end{array}
    \right| - \left|
    \begin{array}{ccc}
    -7 & 1 & -4 \\
    1 & 1 & 1 \\
    x^'_1 & x^'_3 & x^'_4 \\
    \end{array}
    \right| - 2\left|
    \begin{array}{ccc}
    -1 & 0 & 1 \\
    1 & 1 & 1 \\
    x^'_1 & x^'_2 & x^'_3 \\
    \end{array}
    \right| \)
No que nos da una expresión de la forma:
    \( 4x_1 + 22x_2 - 15x_3 - 9x_4 \neq 0\)
Y, por lo tanto, el vector (4,22,-15,-9) es linealmente independiente con los otros 3; y que todos juntos formen una base de \( R_4 \).
Tenemos entonces que una base del subespacio complementario han estudiado es:
    \(B = \{(1,1,1,1) , (4,22,-15,-9)\} \)
Nota.- para comprobar que los cuatro vectores considerados forman una base de \( R_4 \) y, tanto, los dos subespacios considerados son suplementarios, se desarrolla el determinante de la matriz de sus coordenadas.
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Página publicada por: José Antonio Hervás